Επίτευγμα !

KARKAR

: Επίτευγμα !.png (14.99 KiB) Προβλήθηκε 338 φορές

Με πλευρές AB=5

και

, μας ζητήθηκε να σχεδιάσουμε τρίγωνο

$\displaystyle ABC$ , ώστε αν $SC \perp AC$ και SC=AC

, η

να διχοτομεί την $\hat{B}$ .

Πετύχαμε την ακριβή κατασκευή που βλέπετε και αναμένουμε τη δική σας ...

Γιώργος Μήτσιος

Καλό βράδυ !

: Επίτευγμα KARKAR.PNG (8.71 KiB) Προβλήθηκε 286 φορές

Στο σχήμα το τρίγωνο NIC

είναι ορθογώνιο και ισοσκελές όπου το μήκος των κάθετων IC=NC

είναι ..όσο θέλουμε !
Τα E,Z

χωρίζουν το

εσωτερικά κι' εξωτερικά στον ίδιο (επιθυμητό) λόγο : $\dfrac{EC}{EI}=2=\dfrac{ZC}{ZI}$ .

Θεωρούμε τον Απολλώνιο κύκλο διαμέτρου

. Η

τέμνει τον κύκλο στο

.

Ισχύει $\dfrac{MC}{MI}=2=\dfrac{EC}{EI}$ άρα η MEN

διχοτόμος της $\widehat{IMC}$ .

Παίρνουμε πάνω στην ημιευθεία

το

και φέρνουμε $BA \parallel MI$ ( το $A \in CI$ ) .

Τότε έχουμε AB=BC/2=5

.Τέλος παίρνουμε επί της

το

.

Αρκεί να δείξουμε ότι η

διχοτομεί την $\widehat{ABC}$ . Πράγματι $\dfrac{BM}{MC}=\dfrac{AI}{IC}=\dfrac{SN}{NC}$ και έπεται $BS \parallel MN$

οπότε $\widehat{SBC}= \widehat{NMC}=\widehat{IMC}/2=\widehat{ABC}/2$
Το τρίγωνο ABC

λοιπόν , όπως κατασκευάστηκε , είναι το ζητούμενο.
Φιλικά Γιώργος.

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 26, 2018 7:55 pm
Επίτευγμα !.pngΜε πλευρές και , μας ζητήθηκε να σχεδιάσουμε τρίγωνο

$\displaystyle ABC$ , ώστε αν $SC \perp AC$ και , η να διχοτομεί την $\hat{B}$ .

Πετύχαμε την ακριβή κατασκευή που βλέπετε και αναμένουμε τη δική σας ...

Καλημέρα!

: Επίτευγμα.png (11.67 KiB) Προβλήθηκε 254 φορές

Ανάλυση: Λόγω διχοτόμου είναι $\displaystyle AD = \frac{b}{3},DC = \frac{{2b}}{3} \Rightarrow B{D^2} = 50 - \frac{{2{b^2}}}{9}$

και $\displaystyle \tan \theta = \frac{3}{2},$ απ' όπου παίρνω $\displaystyle \cos \theta = \frac{2}{{\sqrt {13} }}.$ Εφαρμόζω νόμο συνημιτόνων στο ADB:

$\displaystyle 25 = 50 - \frac{{{b^2}}}{9} - \frac{{2b}}{3}\sqrt {50 - \frac{{2{b^2}}}{9}} \cdot \frac{2}{{\sqrt {13} }} \Leftrightarrow {b^4} - 290{b^2} + 14625 = 0$

κι επειδή λόγω τριγωνικής ανισότητας είναι 5<b<15,

παίρνουμε τη δεκτή ρίζα $\boxed{b=\sqrt{65}}$

Κατασκευή: Με διάμετρο BC=10

γράφω ημικύκλιο και σε σημείο

της διαμέτρου με EC=6.5

υψώνω κάθετη

: Επίτευγμα.β.png (18.8 KiB) Προβλήθηκε 251 φορές

που τέμνει το ημικύκλιο στο

Το σημείο τομής των κύκλων (B, 5)

και

προσδιορίζει την τρίτη κορυφή

του

ζητούμενου τριγώνου ABC.

KARKAR

: Επίτευγμα !.png (14.99 KiB) Προβλήθηκε 239 φορές

Μετά τ΄Αη - Γιωργιού , οι Γιώργηδες οργιάζουν

. Αλλά κύριοι χαλαρώστε !

Η δική μου λύση φαίνεται στο σχήμα . Μη ρωτάτε πως το σκέφθηκα , αφού "έτυχε"

να έχω και το πεπόνι και το μαχαίρι ...

: Το πέτυχα.png (24.49 KiB) Προβλήθηκε 222 φορές

Γράφω : Το ημικύκλιο διαμέτρου BC = 10

και έστω

το κέντρο του.

Μετά γράφω τον Απολλώνιο κύκλο κέντρου

για κάθε σημείο

του οποίου :

$\boxed{\frac{{PB}}{{PC}} = 2}$ που τέμνει το ημικύκλιο στο

.

Το συμμετρικό του

ως προς την ευθεία

είναι η κορυφή

και η κάθετός στο

επί την

τέμνει την ευθεία

στο

.

Η απόδειξη σαν άσκηση στους μαθητές .

Αν όμως δεν δοθεί απόδειξη υποχρεούμαι και θα την ανεβάσω.

Απόδειξη

: Το πέτυχα_1_απόδειξη.png (29.12 KiB) Προβλήθηκε 132 φορές

Είναι προφανές λόγω συμμετρίας ότι: AB = BM = 5

και η

είναι διχοτόμος της γωνίας $\widehat {ABC}$ .

Επίσης : $\widehat S = \widehat {{\theta _1}}$ ( οξείες με πλευρές κάθετες) και $\widehat S = \widehat {{\theta _1}}$ ( γιατί AM//KC

)

Αν λοιπόν θέσω $NT = u\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AT = m$ λόγω της ομοιότητας των ορθογωνίων

τριγώνων : $\,\,NAT,\,\,KCT,\,KSC$ και του Θ διχοτόμων θα είναι :

$TC = 2m\,,\,\,TK = 2u\,\,$ και αφού το

μέσο του

θα είναι

. Αλλά ισχύει

KB = 2KC

( από τον Απολλώνιο κύκλο ) , άρα $KC = 3u \Rightarrow \dfrac{{KC}}{{KT}} = \dfrac{{3u}}{{2u}} = \dfrac{3}{2}\,\,$ και έτσι

$\dfrac{{CS}}{{CT}} = \dfrac{3}{2} \Rightarrow \boxed{CS = 3m = CA}$

Μιχάλης Τσουρακάκης

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 26, 2018 7:55 pm
Επίτευγμα !.pngΜε πλευρές και , μας ζητήθηκε να σχεδιάσουμε τρίγωνο

$\displaystyle ABC$ , ώστε αν $SC \perp AC$ και , η να διχοτομεί την $\hat{B}$ .

Πετύχαμε την ακριβή κατασκευή που βλέπετε και αναμένουμε τη δική σας ...

Με $\displaystyle D$ συμμετρικό του $\displaystyle B$ ως προς $\displaystyle A$ είναι $\displaystyle DB = BC = 10 \Rightarrow BE \bot DC$ και $\displaystyle G$ κ.βάρους του $\displaystyle \vartriangle DBC$

Άρα, $\displaystyle SC = CA = \frac{3}{2}CG$ και $\displaystyle \frac{{SE}}{{EG}} = {\left( {\frac{{SC}}{{CG}}} \right)^2} = \frac{9}{4}$ .Έτσι με Π.Θ στο $\displaystyle \vartriangle EBC \Rightarrow x = \frac{{\sqrt 5 }}{3} \Rightarrow \boxed{CD = 12x = 4\sqrt 5 }$

Κατασκευάζουμε λοιπόν το τρίγωνο $\displaystyle BDC$ με $\displaystyle BC = DB = 10$ και $\displaystyle {CD = 4\sqrt 5 }$ και φέρουμε τη διάμεσο $\displaystyle CA$ .

Το $\displaystyle A$ είναι η τρίτη κορυφή του τριγώνου και το $\displaystyle S$ ,η τομή της $\displaystyle BG$ με την κάθετο στην $\displaystyle AC$ στο $\displaystyle C$

Για το μέτρο της $\displaystyle AC$ είναι $\displaystyle C{S^2} = 9x \cdot 13x = 97{x^2} \Rightarrow \boxed{CS = AC = \sqrt {65} }$

: επίτευγμα.png (18.9 KiB) Προβλήθηκε 177 φορές

: Το πέτυχα_new.png (81.93 KiB) Προβλήθηκε 169 φορές

Έστω ευθύγραμμο τμήμα BC = 10

.

το μέσο του και

το συμμετρικό του

ως προς το

.

Γράφω ημικύκλιο διαμέτρου

και στο αντίθετο ημιεπίπεδο θεωρώ σημείο

τέτοιο ώστε $MG = \dfrac{{BC}}{3}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,MG \bot BC$ , Γράφω, κατά τα γνωστά, τόξο χορδής

Που να δέχεται γωνία ίση με $\widehat \theta = \widehat {MCG}$ . Έστω δε

το κέντρο του .

Το τόξο αυτό τέμνει το ημικύκλιο στο

, ενώ η κάθετη στο

επί την

τέμνει

Την ευθεία

στο σημείο

.

Απόδειξη:

Αφού η διάκεντρος

είναι μεσοκάθετη στη κοινή χορδή

θα διχοτομεί τη γωνία $\widehat {ABC}$ .

Το τετράπλευρο ABCS

είναι εγγράψιμο γιατί τα $B\,\,\kappa \alpha \iota \,\,C$ βλέπουν υπό ίσες γωνίες

(και μάλιστα ορθές ) την

και άρα , $\widehat {BSC} = \widehat {MAC} = \widehat \theta \Rightarrow \vartriangle CTS \approx \vartriangle MGC$ με συνέπεια και λόγω του Θ. διχοτόμου :

$\boxed{AC = \frac{3}{2}TC = CS}$ .

Επίτευγμα !

Επίτευγμα !

Re: Επίτευγμα !

Re: Επίτευγμα !

Re: Επίτευγμα !

Re: Επίτευγμα !

Re: Επίτευγμα !

Re: Επίτευγμα !

Μέλη σε σύνδεση