Μυστήριο τρίγωνο

KARKAR · #1

: Μυστήριο τρίγωνο.png (9.44 KiB) Προβλήθηκε 507 φορές

Κατασκευάστε τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , στο οποίο η διχοτόμος

να είναι

ίση με την

και να διαιρεί την πλευρά

σε λόγο : $\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{1}{2}$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 03, 2018 10:30 am
Μυστήριο τρίγωνο.pngΚατασκευάστε τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , στο οποίο η διχοτόμος να είναι

ίση με την και να διαιρεί την πλευρά σε λόγο : $\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{1}{2}$ .

: Μυστήτιο τρίγωνο.png (15.51 KiB) Προβλήθηκε 491 φορές

Ας είναι

και

το σημείο του

για το οποίο $BD = d\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DC = 2d$ .

Αν

το συμμετρικό του

ως προς το

και

΄ συμμετρικό του

ως προς το

, το ημικύκλιο διαμέτρου

(Απολλώνιο ) με τη μεσοκάθετη στο

τέμνονται στο ζητούμενο σημείο

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 03, 2018 10:30 am
Μυστήριο τρίγωνο.pngΚατασκευάστε τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , στο οποίο η διχοτόμος να είναι

ίση με την και να διαιρεί την πλευρά σε λόγο : $\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{1}{2}$ .

Αρκεί να υπολογίσω τις πλευρές του τριγώνου συναρτήσει του

: Μυστήριο τρίγωνο.png (8.53 KiB) Προβλήθηκε 473 φορές

$\displaystyle A{D^2} = AB \cdot AC - BD \cdot DC \Leftrightarrow {x^2} = 2{x^2} - 2{d^2} \Leftrightarrow$ $\boxed{x=d\sqrt 2}$

Κατασκευή:

: Μυστήριο τρίγωνο.β.png (12.55 KiB) Προβλήθηκε 469 φορές

Επί της

εντοπίζω το σημείο

και με ορθή γωνία στο

κατασκευάζω προς το ίδιο μέρος της

τα ορθογώνια και ισοσκελή τρίγωνα BDE, CDH.

Το σημείο τομής των κύκλων (B,BE), (C, CH)

προσδιορίζει την τρίτη κορυφή

του ζητούμενου τριγώνου.

KARKAR · #4

: Μυστήριο τρίγωνο.png (10.43 KiB) Προβλήθηκε 467 φορές

Έστω σημείο

της

, ώστε : $SD\perp AD$ .Υπολογίστε το λόγο : $\dfrac{(ADS)}{(ABC)}$

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 03, 2018 12:46 pm
Μυστήριο τρίγωνο.pngΈστω σημείο της , ώστε : $SD\perp AD$ .Υπολογίστε το λόγο : $\dfrac{(ADS)}{(ABC)}$

: Μυστήριο τρίγωνο.γ.png (12.12 KiB) Προβλήθηκε 456 φορές

Αν $\widehat A=2\theta$ με νόμο συνημιτόνων βρίσκω $\displaystyle \cos 2\theta = \frac{1}{8} \Leftrightarrow \tan 2\theta = 3\sqrt 7$ και $\displaystyle \tan \theta = \frac{{\sqrt 7 }}{3},$ $\displaystyle \sin 2\theta = \frac{{3\sqrt 7 }}{8}$

$\displaystyle \frac{{(ADS)}}{{(ABC)}} = \frac{{\frac{{{x^2}\sqrt 7 }}{6}}}{{\frac{{3{x^2}\sqrt 7 }}{8}}} \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{{(ADS)}}{{(ABC)}} = \frac{4}{9}}$

#6

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 03, 2018 10:30 am
Κατασκευάστε τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , στο οποίο η διχοτόμος να είναι

ίση με την και να διαιρεί την πλευρά σε λόγο : $\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{1}{2}$ .

Από τον Νόμο των συνημιτόνων στα τρίγωνα ABD, ADC

έχουμε $x^2+x^2-2x^2\cos \frac {A}{2} = d^2$ και $x^2+ 4x^2-4x^2\cos \frac {A}{2} = 4d^2$ .

Λύνοντας είναι x^2=2d^2

, και λοιπά.

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 03, 2018 12:46 pm
Έστω σημείο της , ώστε : $SD\perp AD$ .Υπολογίστε το λόγο : $\dfrac{(ADS)}{(ABC)}$

Το προηγούμενο δίνει ακόμη $\cos \frac {A}{2}=\frac {3}{4}$ , και τα υπόλοιπα άμεσα.

#7

: Μυστήτιο τρίγωνο_extra.png (19.41 KiB) Προβλήθηκε 434 φορές

$\boxed{(ADS) = \frac{2}{3}(ADC) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3}(ABC) = \frac{4}{9}(ABC)}$

#8

Doloros έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 03, 2018 2:42 pm
Μυστήτιο τρίγωνο_extra.png

$\boxed{(ADS) = \frac{2}{3}(ADC) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3}(ABC) = \frac{4}{9}(ABC)}$

Πολύ καλό!

Μυστήριο τρίγωνο

Μυστήριο τρίγωνο

Re: Μυστήριο τρίγωνο

Re: Μυστήριο τρίγωνο

Re: Μυστήριο τρίγωνο

Re: Μυστήριο τρίγωνο

Re: Μυστήριο τρίγωνο

Re: Μυστήριο τρίγωνο

Re: Μυστήριο τρίγωνο

Μέλη σε σύνδεση