Μυστήριο τρίγωνο

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9813
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Μυστήριο τρίγωνο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Μάιος 03, 2018 10:30 am

Μυστήριο  τρίγωνο.png
Μυστήριο τρίγωνο.png (9.44 KiB) Προβλήθηκε 218 φορές
Κατασκευάστε τρίγωνο \displaystyle ABC , στο οποίο η διχοτόμος AD να είναι

ίση με την AB και να διαιρεί την πλευρά BC σε λόγο : \dfrac{BD}{DC}=\dfrac{1}{2} .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5869
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Μυστήριο τρίγωνο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Μάιος 03, 2018 11:19 am

KARKAR έγραψε:
Πέμ Μάιος 03, 2018 10:30 am
Μυστήριο τρίγωνο.pngΚατασκευάστε τρίγωνο \displaystyle ABC , στο οποίο η διχοτόμος AD να είναι

ίση με την AB και να διαιρεί την πλευρά BC σε λόγο : \dfrac{BD}{DC}=\dfrac{1}{2} .
Μυστήτιο  τρίγωνο.png
Μυστήτιο τρίγωνο.png (15.51 KiB) Προβλήθηκε 202 φορές

Ας είναι BC = 3d και D το σημείο του BC για το οποίο BD = d\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DC = 2d.

Αν K το συμμετρικό του D ως προς το B και E΄ συμμετρικό του D ως προς το

K , το ημικύκλιο διαμέτρου ED (Απολλώνιο ) με τη μεσοκάθετη στο DB τέμνονται στο ζητούμενο σημείο A


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6968
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μυστήριο τρίγωνο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Μάιος 03, 2018 12:21 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Μάιος 03, 2018 10:30 am
Μυστήριο τρίγωνο.pngΚατασκευάστε τρίγωνο \displaystyle ABC , στο οποίο η διχοτόμος AD να είναι

ίση με την AB και να διαιρεί την πλευρά BC σε λόγο : \dfrac{BD}{DC}=\dfrac{1}{2} .
Αρκεί να υπολογίσω τις πλευρές του τριγώνου συναρτήσει του d.
Μυστήριο τρίγωνο.png
Μυστήριο τρίγωνο.png (8.53 KiB) Προβλήθηκε 184 φορές
\displaystyle A{D^2} = AB \cdot AC - BD \cdot DC \Leftrightarrow {x^2} = 2{x^2} - 2{d^2} \Leftrightarrow \boxed{x=d\sqrt 2}

Κατασκευή:
Μυστήριο τρίγωνο.β.png
Μυστήριο τρίγωνο.β.png (12.55 KiB) Προβλήθηκε 180 φορές
Επί της BC=3d εντοπίζω το σημείοD και με ορθή γωνία στο D κατασκευάζω προς το ίδιο μέρος της BC

τα ορθογώνια και ισοσκελή τρίγωνα BDE, CDH. Το σημείο τομής των κύκλων (B,BE), (C, CH)

προσδιορίζει την τρίτη κορυφή A του ζητούμενου τριγώνου.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9813
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Μυστήριο τρίγωνο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Μάιος 03, 2018 12:46 pm

Μυστήριο  τρίγωνο.png
Μυστήριο τρίγωνο.png (10.43 KiB) Προβλήθηκε 178 φορές
Έστω σημείο S της AC , ώστε : SD\perp AD .Υπολογίστε το λόγο : \dfrac{(ADS)}{(ABC)}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6968
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μυστήριο τρίγωνο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Μάιος 03, 2018 1:34 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Μάιος 03, 2018 12:46 pm
Μυστήριο τρίγωνο.pngΈστω σημείο S της AC , ώστε : SD\perp AD .Υπολογίστε το λόγο : \dfrac{(ADS)}{(ABC)}
Μυστήριο τρίγωνο.γ.png
Μυστήριο τρίγωνο.γ.png (12.12 KiB) Προβλήθηκε 167 φορές
Αν \widehat A=2\theta με νόμο συνημιτόνων βρίσκω \displaystyle \cos 2\theta  = \frac{1}{8} \Leftrightarrow \tan 2\theta  = 3\sqrt 7 και \displaystyle \tan \theta  = \frac{{\sqrt 7 }}{3}, \displaystyle \sin 2\theta  = \frac{{3\sqrt 7 }}{8}

\displaystyle \frac{{(ADS)}}{{(ABC)}} = \frac{{\frac{{{x^2}\sqrt 7 }}{6}}}{{\frac{{3{x^2}\sqrt 7 }}{8}}} \Leftrightarrow \boxed{\frac{{(ADS)}}{{(ABC)}} = \frac{4}{9}}
τελευταία επεξεργασία από george visvikis σε Πέμ Μάιος 03, 2018 2:31 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10316
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Μυστήριο τρίγωνο

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Μάιος 03, 2018 2:29 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Μάιος 03, 2018 10:30 am
Κατασκευάστε τρίγωνο \displaystyle ABC , στο οποίο η διχοτόμος AD να είναι

ίση με την AB και να διαιρεί την πλευρά BC σε λόγο : \dfrac{BD}{DC}=\dfrac{1}{2} .
Από τον Νόμο των συνημιτόνων στα τρίγωνα ABD, ADC έχουμε x^2+x^2-2x^2\cos \frac {A}{2} = d^2 και x^2+ 4x^2-4x^2\cos \frac {A}{2} = 4d^2 .

Λύνοντας είναι x^2=2d^2, και λοιπά.
KARKAR έγραψε:
Πέμ Μάιος 03, 2018 12:46 pm
Έστω σημείο S της AC , ώστε : SD\perp AD .Υπολογίστε το λόγο : \dfrac{(ADS)}{(ABC)}
Το προηγούμενο δίνει ακόμη \cos \frac {A}{2}=\frac {3}{4}, και τα υπόλοιπα άμεσα.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5869
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Μυστήριο τρίγωνο

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Μάιος 03, 2018 2:42 pm

Μυστήτιο  τρίγωνο_extra.png
Μυστήτιο τρίγωνο_extra.png (19.41 KiB) Προβλήθηκε 145 φορές
\boxed{(ADS) = \frac{2}{3}(ADC) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3}(ABC) = \frac{4}{9}(ABC)}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6968
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μυστήριο τρίγωνο

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Μάιος 03, 2018 3:16 pm

Doloros έγραψε:
Πέμ Μάιος 03, 2018 2:42 pm
Μυστήτιο τρίγωνο_extra.png

\boxed{(ADS) = \frac{2}{3}(ADC) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3}(ABC) = \frac{4}{9}(ABC)}
Πολύ καλό! :clap2:


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης