Υπάρχουν βαρύμαγκες ;

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9812
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Υπάρχουν βαρύμαγκες ;

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Μάιος 12, 2018 12:14 pm

βαρύμαγκας.png
βαρύμαγκας.png (7.8 KiB) Προβλήθηκε 199 φορές
-Ένας λύτης καλείται "μόρτης" αν καταφέρει να κατασκευάσει τρίγωνο \displaystyle ABC

στο οποίο η διάμεσος AM να είναι ο γεωμετρικός μέσος των πλευρών b,c .

-Καλείται "μάγκας" , αν το τρίγωνό του είναι επιπλέον , ορθογώνιο .

-Τέλος καλείται "βαρύμαγκας" αν το τρίγωνό του έχει και ακέραιες πλευρές .

Εξετάστε αν κυκλοφορούν "βαρύμαγκες" :lol:



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10313
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Υπάρχουν βαρύμαγκες ;

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Μάιος 12, 2018 1:14 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Μάιος 12, 2018 12:14 pm
βαρύμαγκας.png-Ένας λύτης καλείται "μόρτης" αν καταφέρει να κατασκευάσει τρίγωνο \displaystyle ABC

στο οποίο η διάμεσος AM να είναι ο γεωμετρικός μέσος των πλευρών b,c .

-Καλείται "μάγκας" , αν το τρίγωνό του είναι επιπλέον , ορθογώνιο .

-Τέλος καλείται "βαρύμαγκας" αν το τρίγωνό του έχει και ακέραιες πλευρές .

Εξετάστε αν κυκλοφορούν "βαρύμαγκες" :lol:
Πάμε απευθείας για το ορθογώνιο: Ως προς τις πλευρές b,c η βάση είναι \sqrt {b^2-c^2}και AM=\sqrt {bc} (εξ υποθέσεως). Από Πυθαγόρειο στο ABM είναι

c^2+ \frac {1}{4} (b^2-c^2} )=bc

Λύνοντας την δευτεροβάθμια δεκτή ρίζα είναι η b=3c. Άρα το ζητούμενο ορθογώνιο τρίγωνο είναι το AB=c, BC= c\sqrt 2, AC=3c, που εύκολα βλέπουμε ότι έχει την ζητούμενη ιδιότητα για την διάμεσο AM=c\sqrt 3} .

Από το άρρητο της \sqrt 2, δεν είναι ποτέ ακέραιος το BC=c\sqrt 2 για ακέραιο c=AB.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης