Χωρίς τριγωνομετρία 4

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9646
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Χωρίς τριγωνομετρία 4

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Μάιος 14, 2018 2:58 pm

Χωρίς  τριγωνομετρία.png
Χωρίς τριγωνομετρία.png (8.2 KiB) Προβλήθηκε 178 φορές
Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABD , (\hat{D}=90^0) , δίνεται ότι : AD=1 και BD=\dfrac{1}{2} .

Προεκτείνω την BD κατά τμήμα DC=x , ώστε \widehat{ABD}=2\widehat{ACD} .

Υπολογίστε το τμήμα x . Απαράβατος όρος : Όχι τριγωνομετρία :no:



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10126
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Χωρίς τριγωνομετρία 4

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Μάιος 14, 2018 3:21 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Μάιος 14, 2018 2:58 pm
Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABD , (\hat{D}=90^0) , δίνεται ότι : AD=1 και BD=\dfrac{1}{2} .

Προεκτείνω την BD κατά τμήμα DC=x , ώστε \widehat{ABD}=2\widehat{ACD} .

Υπολογίστε το τμήμα x . Απαράβατος όρος : Όχι τριγωνομετρία :no:
Αν η διχοτόμος της B τέμνει την AD στο E, τότε από το θεώρημα των διχοτόμων είναι  \frac {ED} {AE+ED} = \frac {BD} {BD+BA}, οπότε
ED= \frac {\frac {1}{2}}{ \frac {\sqrt 5}{2}+\frac  {1}{2}}= \frac {1}{2\phi }. Tώρα από τα όμοια τρίγωνα BDE, ABD έχουμε \frac {x}{1}= \frac { 1/2} { ED}= \phi.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5679
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Χωρίς τριγωνομετρία 4

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Μάιος 14, 2018 3:37 pm

χωρίς τριγωνομετρία κατα Karkar.png
χωρίς τριγωνομετρία κατα Karkar.png (18.68 KiB) Προβλήθηκε 157 φορές

Από την εξίσωση : \boxed{(x + \frac{1}{2})\frac{{\sqrt 5 }}{2} = {x^2} + 1 - \frac{5}{4} \Rightarrow x = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2} = \varphi }


Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3089
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Χωρίς τριγωνομετρία 4

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Δευ Μάιος 14, 2018 4:23 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Μάιος 14, 2018 2:58 pm
Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABD , (\hat{D}=90^0) , δίνεται ότι : AD=1 και BD=\dfrac{1}{2} .

Προεκτείνω την BD κατά τμήμα DC=x , ώστε \widehat{ABD}=2\widehat{ACD} .

Υπολογίστε το τμήμα x . Απαράβατος όρος : Όχι τριγωνομετρία :no:
shape.png
shape.png (13.41 KiB) Προβλήθηκε 147 φορές
Με ένα συμμετρικό και ένα Πυθαγόρειο καταλήγουμε στην εξίσωση: {\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} = {1^2} + {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2} = {\left( {\dfrac{{\sqrt 5 }}{2}} \right)^2} \Leftrightarrow x = \varphi


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6648
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Χωρίς τριγωνομετρία 4

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Μάιος 14, 2018 4:44 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Μάιος 14, 2018 2:58 pm
Χωρίς τριγωνομετρία.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο ABD , (\hat{D}=90^0) , δίνεται ότι : AD=1 και BD=\dfrac{1}{2} .

Προεκτείνω την BD κατά τμήμα DC=x , ώστε \widehat{ABD}=2\widehat{ACD} .

Υπολογίστε το τμήμα x . Απαράβατος όρος : Όχι τριγωνομετρία :no:
Χωρίς Τριγωνομετρία.4.png
Χωρίς Τριγωνομετρία.4.png (9.67 KiB) Προβλήθηκε 141 φορές
\displaystyle \widehat B = 2\widehat C \Leftrightarrow {b^2} - {c^2} = ac \Leftrightarrow {x^2} + 1 - \frac{5}{4} = \left( {x + \frac{1}{2}} \right)\frac{{\sqrt 5 }}{2} \Leftrightarrow x - \frac{1}{2} = \frac{{\sqrt 5 }}{2} \Leftrightarrow \boxed{x=\phi}


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1341
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Χωρίς τριγωνομετρία 4

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Δευ Μάιος 14, 2018 10:54 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Μάιος 14, 2018 2:58 pm
Χωρίς τριγωνομετρία.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο ABD , (\hat{D}=90^0) , δίνεται ότι : AD=1 και BD=\dfrac{1}{2} .

Προεκτείνω την BD κατά τμήμα DC=x , ώστε \widehat{ABD}=2\widehat{ACD} .

Υπολογίστε το τμήμα x . Απαράβατος όρος : Όχι τριγωνομετρία :no:

Με \displaystyle M μέσον της \displaystyle ACτο \displaystyle BMCE είναι εγγράψιμο.Άρα

\displaystyle \frac{{A{C^2}}}{2} = AB \cdot AE \Rightarrow \frac{{{x^2} + 1}}{2} = \frac{{\sqrt 5 }}{2} \cdot \frac{{\sqrt 5  + 1}}{2} \Rightarrow \boxed{x = \frac{{\sqrt 5  + 1}}{2}}
x.t.png
x.t.png (8.46 KiB) Προβλήθηκε 93 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες