Ελάχιστος λόγος 2

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9748
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ελάχιστος λόγος 2

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Μάιος 19, 2018 6:28 pm

ελάχιστος  λόγος.png
ελάχιστος λόγος.png (7.65 KiB) Προβλήθηκε 97 φορές
Η καμπύλη του σχήματος είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x)=ax^2+b , a,b>0 .

Σημείο S(k,f(k)) κινείται επί του τμήματος της καμπύλης που βρίσκεται στο πρώτο τεταρτημόριο .

Βρείτε την ελάχιστη τιμή του λόγου : \dfrac{f(k)}{k}



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6847
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ελάχιστος λόγος 2

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Μάιος 19, 2018 7:30 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Μάιος 19, 2018 6:28 pm
ελάχιστος λόγος.pngΗ καμπύλη του σχήματος είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x)=ax^2+b , a,b>0 .

Σημείο S(k,f(k)) κινείται επί του τμήματος της καμπύλης που βρίσκεται στο πρώτο τεταρτημόριο .

Βρείτε την ελάχιστη τιμή του λόγου : \dfrac{f(k)}{k}
Ελάχιστος λόγος.png
Ελάχιστος λόγος.png (8.94 KiB) Προβλήθηκε 86 φορές
\displaystyle g(k) = \frac{{f(k)}}{k} = ak + \frac{b}{k} \Rightarrow g'(k) = \frac{{a{k^2} - b}}{k}, άρα η g παρουσιάζει ελάχιστο για \boxed{k = \sqrt {\frac{b}{a}}}

ίσο με \boxed{g\left( {\sqrt {\frac{b}{a}} } \right) = 2\sqrt {ab} } Σ' αυτή την περίπτωση η OS εφάπτεται στην C_f.
τελευταία επεξεργασία από george visvikis σε Σάβ Μάιος 19, 2018 7:37 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4042
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Ελάχιστος λόγος 2

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Σάβ Μάιος 19, 2018 7:34 pm

Καλησπέρα σε όλους. Ξεκινώ Αλγεβρικά:

Αφού το S κινείται στο 1ο τεταρτημόριο είναι  \displaystyle \frac{{f\left( k \right)}}{k} = \frac{{a{k^2} + b}}{k},\;\;a,\;b,\;k > 0 .

Ζητάμε το ελάχιστο του λόγου  \displaystyle \frac{{a{k^2} + b}}{k} = \alpha k + \frac{b}{k},\;\;a,b,k > 0 .

Επειδή οι θετικοί αριθμοί  \displaystyle ak,\;\;\frac{b}{k} έχουν σταθερό γινόμενο, αν γίνουν ίσοι, τότε θα έχουν ελάχιστο άθροισμα. Είναι  \displaystyle ak = \frac{b}{k} \Leftrightarrow {k^2} = \frac{b}{a} \Leftrightarrow k = \sqrt {\frac{b}{a}} .

Η ελάχιστη τιμή του λόγου είναι  \displaystyle {\frac{{f\left( k \right)}}{k}_{\min }} = \frac{{a\frac{b}{a} + b}}{{\sqrt {\frac{b}{a}} }} = 2\sqrt {ab} .


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης