Καλησπέρα σε όλους. Σάς ευχαριστώ για την ενασχόληση, ειδικά τον
Σωτήρη, που χάρηκε το πρόβλημα και ασχολήθηκε σε βάθος.
Θα χρησιμοποιήσω το παρακάτω λήμμα:
ΛΗΜΜΑ:
Αν δύο μεταβλητές έχουν σταθερό άθροισμα, τότε το γινόμενό τους γίνεται μέγιστο όταν το απόλυτο της διαφοράς τους γίνει ελάχιστο.
Απόδειξη:
Έστω

με

,

σταθερό.
Είναι

, οπότε το

γίνεται μέγιστο όταν το

γίνει ελάχιστο.
Δίνεται κύκλος

και ευθεία

που δεν τέμνει τον κύκλο. Ευθεία

μετακινείται καθέτως προς την

και τέμνει την ευθεία στο

και τον κύκλο στα

και

(ώστε το

εσωτερικό του

). Για ποια θέση της

το γινόμενο

γίνεται μέγιστο;

- 24-05-2018 Γεωμετρία.jpg (23.06 KiB) Προβλήθηκε 496 φορές
Λύση:
Έστω

το μέσο του

. Τότε

.
Είναι

, σταθερό, όπου

η απόσταση του κέντρου του κύκλου από την ευθεία

, οπότε

.
Έστω

, οπότε

.
Το

παίρνει τιμές στο διάστημα
![\displaystyle \left[ {d - R,\;d} \right] \displaystyle \left[ {d - R,\;d} \right]](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/759eae788df11946c19b9b97df12b4a2.png)
.
Είναι

.
Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις:
Αν

, τότε

με το ελάχιστό του όταν

, που συμβαίνει όταν η

είναι διάμετρος του κύκλου. Τότε έχουμε το μέγιστο γινόμενο, που ισούται με

.
Αν

, τότε το απόλυτο

μπορεί να γίνει ίσο με το

, όταν

.
Για αυτήν την τιμή έχουμε το μέγιστο γινόμενο, που ισούται με

.
ΣΧΟΛΙΑ:
1) Το αρχικό ερώτημα ας πούμε ότι ήταν εισαγωγικό και δίνει άμεσα το αποτέλεσμα (κάτι σαν καλόπιασμα για αυτό που θα ακολουθούσε).
2) Το λήμμα που αναφέρουμε συναντάται ακόμα και σήμερα με την λανθασμένη διατύπωση (ορθότερα θα λέγαμε: μερική περίπτωση): Αν δύο μεταβλητές έχουν σταθερό άθροισμα, τότε το γινόμενό τους γίνεται μέγιστο όταν γίνουν ίσες.
Το εν λόγω πρόβλημα αποτελεί αντιπαράδειγμα, που δείχνει ότι μπορεί να έχουμε μέγιστο γινόμενο ακόμα και αν οι μεταβλητές είναι άνισες.
3) Ιστορικά στοιχεία σε επόμενη ανάρτηση. Παραπέμπω, για την ώρα, σε σχετική ανάρτηση
ΕΔΩ, σελ. 12 του συνημμένου.
Αν δεν δοθεί αντιμετώπιση με παραγώγους, (που έχει ισάξιο ενδιαφέρον) θα αναρτήσω σύντομα μια λύση.