Μέγιστο γινόμενο

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4060
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Μέγιστο γινόμενο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Κυρ Μάιος 20, 2018 9:50 am

Καλημέρα σε όλους.

Δίνεται κύκλος (O, r) και ευθεία (e) που δεν τέμνει τον κύκλο. Ευθεία (d) μετακινείται καθέτως προς την (e) και τέμνει την ευθεία στο A και τον κύκλο στα B και C (ώστε το B εσωτερικό του AC). Για ποια θέση της (d) το γινόμενο AB \cdot AC γίνεται μέγιστο;

Σχόλια (π.χ. για το τι το διασκεδαστικό έχει ένα πρόβλημα min-max ; ), καθώς κι άλλες ενδιαφέρουσες πληροφορίες μετά τον εορτασμό της Ενώσεως της Επτανήσου με την Ελλάδα.
Αν την έχουμε ξανασυζητήσει, παρακαλώ κρατηθείτε λίγο μέχρι να διασκεδάσουν και όσοι δεν έχουν τόσο γερή μνήμη.



Λέξεις Κλειδιά:
Βαγγέλης Κωστούλας
Δημοσιεύσεις: 6
Εγγραφή: Παρ Απρ 06, 2018 4:22 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Μέγιστο γινόμενο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Βαγγέλης Κωστούλας » Κυρ Μάιος 20, 2018 6:09 pm

Καλησπέρα!!!
Η άσκηση με παίδεψε περισσότερο από ό,τι περίμενα. Τελικά εντόπισα το λάθος της απάντησης που αρχικά έδωσα. Δεν κατάφερα, ωστόσο να κάνω ένα σχήμα, αν και δεν νομίζω πως είναι απαραίτητο να υπάρχει.
Αρχικά θα δείξουμε πως το άθροισμα \LARGE AB+AC είναι σταθερό. Έστω \LARGE d η απόσταση της ευθείας \LARGE (e) από την παράλληλη σε αυτή διάμετρο του κύκλου. Η διάμετρος αυτή είναι και μεσοκάθετος του τμήματος \LARGE BC και έστω Μ το μέσο του. Τότε \LARGE AB+AC=AB+(AB+BC)=2AB+(BM+MC)=2AB+2BM=2d, (αφού \LARGE (d)\perp (e))
Έχοντας δείξει αυτό, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη σχέση \LARGE AB+AC\geq 2\sqrt{AB\cdot AC}, από την οποία γνωρίζουμε ότι το γινόμενο \LARGE AB\cdot AC γίνεται μέγιστο όταν ισχύει η ισότητα, η οποία δίνει τη σχέση \LARGE AB=AC. Αυτό σημαίνει ότι τα σημεία \LARGE B και \LARGE C ταυτίζονται, δηλαδή η ευθεία \LARGE (d) είναι εφαπτόμενη του κύκλου σε αυτό το σημείο.


Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5239
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Μέγιστο γινόμενο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Κυρ Μάιος 20, 2018 9:55 pm

Αν R η ακτίνα του κύκλου και x η απόσταση του A από το κέντρο O του κύκλου, τότε παίρνουμε: AB \cdot AC = {x^2} - {R^2}, οπότε αρκεί το x να γίνει μέγιστο. Αυτό επιτυγχάνεται αν B \equiv C, δηλαδή αν BO\parallel \left( e \right). Γίνεται δε το γινόμενο αυτό ελάχιστο όταν η χορδή BC γίνει διάμετρος.


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4060
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Μέγιστο γινόμενο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Δευ Μάιος 21, 2018 9:10 pm

Καλησπέρα σας κι ευχαριστώ για την ενασχόληση. Είχα την υποψία ότι θα θυμίσει κάτι σε κάποιον και θα μού παραπονεθεί ότι δεν είναι έτσι η άσκηση, αλλά ευτυχώς όχι!

Θα αναρτήσω σύντομα σχήμα (και δυναμικό σχήμα) για τις παραπάνω λύσεις.

Προς στιγμήν, δίνω την εκφώνηση ελαφρά (;) παραλλαγμένη (στην αυθεντική της μορφή):

Δίνεται κύκλος (O, r) και ευθεία (e) που δεν τέμνει τον κύκλο. Ευθεία (d) μετακινείται καθέτως προς την (e) και τέμνει την ευθεία στο A και τον κύκλο στα B και C (ώστε το B εσωτερικό του AC). Για ποια θέση της (d) το γινόμενο AB \cdot BC γίνεται μέγιστο;


Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5239
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Μέγιστο γινόμενο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Δευ Μάιος 21, 2018 10:11 pm

Γιώργος Ρίζος έγραψε:
Δευ Μάιος 21, 2018 9:10 pm
... Προς στιγμήν, δίνω την εκφώνηση ελαφρά (;) παραλλαγμένη (στην αυθεντική της μορφή):
Δίνεται κύκλος (O, r) και ευθεία (e) που δεν τέμνει τον κύκλο. Ευθεία (d) μετακινείται καθέτως προς την (e) και τέμνει την ευθεία στο A και τον κύκλο στα B και C (ώστε το B εσωτερικό του AC). Για ποια θέση της (d) το γινόμενο AB \cdot BC γίνεται μέγιστο;
Θεωρούμε AB = b,\;BC = c. Αν O{O’}=d η απόσταση του O από την (e), που είναι σταθερή, τότε άμεσα παίρνουμε: b + \frac{c}{2} = d \Leftrightarrow c = 2d - b.
Θέλουμε το μέγιστο της t=bc. Παρατηρούμε ότι bc = t \Leftrightarrow {b^2} - 2db + t = 0, με \Delta  \geqslant 0 ή 4{d^2} - 4t \geqslant 0 ή t \leqslant {d^2} \Rightarrow {t_{\max }} = {d^2}…

(*) Aν δεν επιχειρούσαμε την πλέον στοιχειώδη κατά τη γνώμη μας λύση θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε τη γνωστή πρόταση: Αν το άθροισμα θετικών αριθμών είναι σταθερό, τότε το γινόμενο τους μεγιστοποιείται όταν αυτοί είναι ίσοι.

edit: Tοποθέτηση του quote από τον Γιώργο.
τελευταία επεξεργασία από S.E.Louridas σε Τρί Μάιος 22, 2018 9:26 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
Ανδρέας Πούλος
Δημοσιεύσεις: 1355
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 10:47 pm
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ
Επικοινωνία:

Re: Μέγιστο γινόμενο

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ανδρέας Πούλος » Δευ Μάιος 21, 2018 10:16 pm

Κάνουμε χρήση Στοιχειώδους Αναλυτικής Γεωμετρίας,
βέβαια δεν είναι και η διασκεδαστικότερη πλευρά των Μαθηματικών, απλά τη χρησιμοποιώ για επιβεβαίωση.
Στο συνημμένο σχήμα φαίνονται οι συντεταγμένες των σημείων που μας ενδιαφέρουν.
Επειδή ισχύει
AB\cdot AC = 2a\sqrt{r^{2}-x^{2}}, το γινόμενο θα γίνει μέγιστο όταν  x = 0.

Δηλαδή, το σημείο A θα συμπέσει με το σημείο D και η BC θα γίνει η διάμετρος DE.
Συνημμένα
μέγιστο γινόμενο.png
μέγιστο γινόμενο.png (4.79 KiB) Προβλήθηκε 601 φορές


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4060
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Μέγιστο γινόμενο

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Τρί Μάιος 22, 2018 12:59 pm

S.E.Louridas έγραψε:
Δευ Μάιος 21, 2018 10:11 pm

(*) Aν δεν επιχειρούσαμε την πλέον στοιχειώδη κατά τη γνώμη μας λύση θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε τη γνωστή πρόταση: Αν το άθροισμα θετικών αριθμών είναι σταθερό, τότε το γινόμενο τους μεγιστοποιείται όταν αυτοί είναι ίσοι.
Σωτήρη καλημέρα!

ΕΔΩ ακριβώς κρύβεται όλη η ΔΙΑΣΚΕΔΑΣΗ.... "Κι αν δεν γίνεται να είναι ίσοι, μέγιστο δεν θα έχουμε;"

Για μαθηματικούς Σέρλοκ Χολμς:
Κάπου αλλού, πριν λίγες μέρες με αφορμή ένα παρόμοιο θέμα γνωστού Καρδιτσιώτη (άλλα στοιχεία δεν δίνω), είχα δώσει κάποια στοιχεία για βιβλιογραφική έρευνα, για όποιον ενδιαφέρεται κι έχει και τη βασική βιβλιοθήκη της εποχής που ήταν γνωστή η ιστορία της Όλγας Πίππα.


Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5239
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Μέγιστο γινόμενο

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Τρί Μάιος 22, 2018 5:46 pm

S.E.Louridas έγραψε:
Δευ Μάιος 21, 2018 10:11 pm
Γιώργος Ρίζος έγραψε:
Δευ Μάιος 21, 2018 9:10 pm
... Προς στιγμήν, δίνω την εκφώνηση ελαφρά (;) παραλλαγμένη (στην αυθεντική της μορφή):
Δίνεται κύκλος (O, r) και ευθεία (e) που δεν τέμνει τον κύκλο. Ευθεία (d) μετακινείται καθέτως προς την (e) και τέμνει την ευθεία στο A και τον κύκλο στα B και C (ώστε το B εσωτερικό του AC). Για ποια θέση της (d) το γινόμενο AB \cdot BC γίνεται μέγιστο;
Θεωρούμε AB = b,\;BC = c. Αν O{O’}=d η απόσταση του O από την (e), που είναι σταθερή, τότε άμεσα παίρνουμε: b + \frac{c}{2} = d \Leftrightarrow c = 2d - 2b.
Θέλουμε το μέγιστο της t=bc. Παρατηρούμε ότι bc = t \Leftrightarrow {b^2} - 2db + t = 0, με \Delta  \geqslant 0 ή 4{d^2} - 4t \geqslant 0 ή t \leqslant {d^2} \Rightarrow {t_{\max }} = {d^2}…

(*) Aν δεν επιχειρούσαμε την πλέον στοιχειώδη κατά τη γνώμη μας λύση θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε τη γνωστή πρόταση: Αν το άθροισμα θετικών αριθμών είναι σταθερό, τότε το γινόμενο τους μεγιστοποιείται όταν αυτοί είναι ίσοι.
Απλά αναρτώ και το σχήμα που δούλεψα. Η ζητούμενη θέση είναι αυτή που καταλήξαμε όταν το M είναι το μέσον του OO' και αυτό ευρίσκεται εντός του κύκλου O ή επί της περιφέρειας του. Και μπαίνει το "παιχνιδιάρικο" ερώτημα:
Τι κάνουμε όταν το M βρεθεί έξω από τον κύκλο; Ας περιμένουμε λίγο Γιώργο.
Γ.Ριζος..png
Γ.Ριζος..png (8.85 KiB) Προβλήθηκε 545 φορές


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5239
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Μέγιστο γινόμενο

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Τετ Μάιος 23, 2018 9:55 am

Καλημέρα και πάλι.
Όταν το μέσο του OO’ είναι εκτός του κύκλου, τότε για την θέση που ζητάμε παίρνουμε {O{'}}T \cdot R \geqslant {O{'}}L \cdot LO \Leftrightarrow \left( {d - R} \right)R \geqslant \left( {d - R + x} \right)\left( {R - x} \right) \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow d - R \geqslant R - x \Leftrightarrow {O{'}}T \geqslant OL που ισχύει. Συνεπώς στη περίπτωση αυτή το μέγιστο επιτυγχάνεται όταν B \equiv T, δηλαδή όταν A \equiv O'.
Γ.Ριζος 2.png
Γ.Ριζος 2.png (8.86 KiB) Προβλήθηκε 503 φορές


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5239
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Μέγιστο γινόμενο

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Τετ Μάιος 23, 2018 11:55 pm

S.E.Louridas έγραψε:
Τετ Μάιος 23, 2018 9:55 am
Όταν το μέσο του OO’ είναι εκτός του κύκλου, τότε για την θέση που ζητάμε παίρνουμε {O{'}}T \cdot R \geqslant {O{'}}L \cdot LO \Leftrightarrow \left( {d - R} \right)R \geqslant \left( {d - R + x} \right)\left( {R - x} \right) \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow d - R \geqslant R - x \Leftrightarrow {O{'}}T \geqslant OL που ισχύει. Συνεπώς στη περίπτωση αυτή το μέγιστο επιτυγχάνεται όταν B \equiv T, δηλαδή όταν A \equiv O'. Γ.Ριζος 2.png
Ας συνεχίσουμε το πανέμορφο οδοιπορικό, όταν το μέσο M του OO{'} είναι εκτός του κύκλου, που μας χάραξε ο Γιώργος Ρίζος που κατά την άποψη μου η στόχευση είναι πολύ μα πολύ ουσιαστική. Είναι κατ' εμέ από τα προβλήματα που σίγουρα ενθουσιάζουν.

Αν {O{'}}T = a,\;{O{'}}L = x,\;OL = y, τότε, παίρνουμε x + y = d\;\,\left( {d = O{O{'}}} \right),\;\,x - y = a - R + 2TL \geqslant a - R.
Θέτουμε xy = t και ζητάμε το μέγιστο t. Έχουμε x - y \geqslant a - R \Rightarrow {x^2} - 2xy + {y^2} \geqslant {\left( {a - R} \right)^2} και {x^2} + 2xy + {y^2} = {d^2}.
Έτσι καταλήγουμε 4xy \leqslant {d^2} - {\left( {a - R} \right)^2} \Leftrightarrow t \leqslant \frac{{{d^2} - {{\left( {a - R} \right)}^2}}}{4}, άρα {t_{\max }} = \frac{{{d^2} - {{\left( {a - R} \right)}^2}}}{4}.
Για t =\frac{{{d^2} - {{\left( {a - R} \right)}^2}}}{4}, και με απλές αλγεβρικές πράξεις παίρνουμε x = a.
Γ.Ριζος 2.png
Γ.Ριζος 2.png (8.86 KiB) Προβλήθηκε 458 φορές


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5239
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Μέγιστο γινόμενο

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Πέμ Μάιος 24, 2018 7:42 am

Καλημέα. Τι πιό όμορφο να ξυπνά κάποιος με Μαθηματικά αρκεί βέβαια να τα αγαπά.
Εκ κατακλείδι:
Παρατηρήσαμε καταρχάς ότι λειτούργησε για τη λύση του προβλήματος η πρόταση: Αν το άθροισμα θετικών αριθμών είναι σταθερό, τότε, το γινόμενο τους γίνεται μέγιστο, όταν αυτοί είναι ίσοι. Όμως πιθανόν στο πρόβλημα να υπάρχει και ένα επιπλέον εκτός του σταθερού αθροίσματος δεδομένο, που να μην επιτρέπει αυτοί οι θετικοί να γίνουν ίσοι. Τότε θα πρέπει αν το δεδομένο αυτό δεν είναι εμφανές αλλά «κρυμμένο», να το αποκρυπτογραφήσουμε και να το λειτουργήσουμε, ώστε να πάμε στο μέγιστο, αν βέβαια δεν πέσουμε σε καμμιά περίπτωση άνω φράγματος (λέμε τώρα). Εδώ το σταθερό άθροισμα είναι το άθροισμα OL + L{O{'}} = d. Με βάση την αλγεβρική μας πρόταση το γινόμενο OL \cdot L{O{'}} γίνεται μέγιστο όταν OL = L{O{'}}, δηλαδή όταν το σημείο L ταυτιστεί με το μέσον M του OO^’. Τα πάντα είναι όμορφα και ωραία αν το M δεν είναι εξωτερικό σημείο του κύκλου και αυτό επειδή πρέπει να υπάρχει χορδή BZ έστω και εκφυλισμένη σε σημείο. Όμως αν το μέσο M είναι εξωτερικό σημείο του κύκλου, τότε δεν έχουμε ως μοναδικό δεδομένο ότι L{O^’}+LO=d που είναι σταθερό αλλά και ότι: {O{'}}L > OL και {O{'}}L - OL \geqslant {O{'}}T - R = a - R,\;\,{O{'}}T = a.

Να γιατί λέμε ότι τα ορθά βήματα λειτουργίας του νου κατά την διαδικασία επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος είναι:
(i) Ανάλυση, (ii) Σύνθεση, (iii) Απόδειξη, (iv) Διερεύνηση, με την διερεύνηση στο πρόβλημα μας να παίζει όπως είδαμε καθοριστικό ρόλο.


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4060
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Μέγιστο γινόμενο

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Πέμ Μάιος 24, 2018 8:20 pm

Καλησπέρα σε όλους. Σάς ευχαριστώ για την ενασχόληση, ειδικά τον Σωτήρη, που χάρηκε το πρόβλημα και ασχολήθηκε σε βάθος.
Θα χρησιμοποιήσω το παρακάτω λήμμα:

ΛΗΜΜΑ:
Αν δύο μεταβλητές έχουν σταθερό άθροισμα, τότε το γινόμενό τους γίνεται μέγιστο όταν το απόλυτο της διαφοράς τους γίνει ελάχιστο.

Απόδειξη:
Έστω a, b με a + b = c, c σταθερό.
Είναι  \displaystyle ab = \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{4} - \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{4} = \frac{{{c^2}}}{4} - \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{4} , οπότε το ab γίνεται μέγιστο όταν το  \displaystyle \left| {a - b} \right| γίνει ελάχιστο.


Δίνεται κύκλος (O, R) και ευθεία (\epsilon) που δεν τέμνει τον κύκλο. Ευθεία (\delta ) μετακινείται καθέτως προς την (\epsilon) και τέμνει την ευθεία στο A και τον κύκλο στα B και C (ώστε το B εσωτερικό του AC). Για ποια θέση της (\delta ) το γινόμενο AB \cdot BC γίνεται μέγιστο;

24-05-2018 Γεωμετρία.jpg
24-05-2018 Γεωμετρία.jpg (23.06 KiB) Προβλήθηκε 392 φορές
Λύση:

Έστω D το μέσο του BC. Τότε  \displaystyle AB \cdot BC = 2AB \cdot BD .

Είναι  \displaystyle AB + BD = d , σταθερό, όπου d η απόσταση του κέντρου του κύκλου από την ευθεία (e), οπότε d > R.

Έστω AB = x, οπότε  \displaystyle \left| {AB - BD} \right| = \left| {2x - d} \right| .

Το x παίρνει τιμές στο διάστημα  \displaystyle \left[ {d - R,\;d} \right] .

Είναι  \displaystyle d - R \le x \le d \Leftrightarrow d - 2R \le 2x - d \le d .

Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις:

Αν  \displaystyle d \ge 2R , τότε  \displaystyle \left| {2x - d} \right| = 2x - d > 0 με το ελάχιστό του όταν  \displaystyle x = d - R , που συμβαίνει όταν η BC είναι διάμετρος του κύκλου. Τότε έχουμε το μέγιστο γινόμενο, που ισούται με  \displaystyle AB \cdot B{C_{\max }} = 4R\left( {d - R} \right) .

Αν  \displaystyle R < d < 2R , τότε το απόλυτο  \displaystyle \left| {2x - d} \right| μπορεί να γίνει ίσο με το 0, όταν  \displaystyle x = \frac{d}{2} .

Για αυτήν την τιμή έχουμε το μέγιστο γινόμενο, που ισούται με  \displaystyle AB \cdot B{C_{\max }} = \frac{{{d^2}}}{2} .

ΣΧΟΛΙΑ:


1) Το αρχικό ερώτημα ας πούμε ότι ήταν εισαγωγικό και δίνει άμεσα το αποτέλεσμα (κάτι σαν καλόπιασμα για αυτό που θα ακολουθούσε).

2) Το λήμμα που αναφέρουμε συναντάται ακόμα και σήμερα με την λανθασμένη διατύπωση (ορθότερα θα λέγαμε: μερική περίπτωση): Αν δύο μεταβλητές έχουν σταθερό άθροισμα, τότε το γινόμενό τους γίνεται μέγιστο όταν γίνουν ίσες.
Το εν λόγω πρόβλημα αποτελεί αντιπαράδειγμα, που δείχνει ότι μπορεί να έχουμε μέγιστο γινόμενο ακόμα και αν οι μεταβλητές είναι άνισες.

3) Ιστορικά στοιχεία σε επόμενη ανάρτηση. Παραπέμπω, για την ώρα, σε σχετική ανάρτηση ΕΔΩ, σελ. 12 του συνημμένου.

Αν δεν δοθεί αντιμετώπιση με παραγώγους, (που έχει ισάξιο ενδιαφέρον) θα αναρτήσω σύντομα μια λύση.


Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5239
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Μέγιστο γινόμενο

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Παρ Μάιος 25, 2018 9:03 am

Καλημέρα Γιώργο.
Βεβαίως και χάρηκα το πρόβλημα και μακάρι να είχαμε τις ευκαιρίες να διαπραγματευόμασταν τέτοια προβλήματα, έστω και αν είναι " out of fashion ".


Ο Επιμένων λοιπόν Γεωμετρικά:

Ακολουθεί μία πλήρης Γεωμετρική λύση του προβλήματος μας.


Επειδή BC = 2OL, αρκεί να προσδιορίσουμε το μέγιστο γινόμενο {O{'}}L \cdot LO. Θεωρούμε ως εκ τούτου τον κύκλο h με διάμετρο OO’.

Τότε έχουμε {O{'}}L \cdot LO = L{Q^2},\;{O{'}}T \cdot TO = T{I^2},\;{O{'}}M \cdot MO = M{F^2}, με Q{L^2} \leqslant T{I^2} \leqslant M{F^2}.

Αν τώρα η (\delta) είναι σε τέτοια θέση, ώστε το M είναι εσωτερικό σημείο του OT ή M \equiv T, για το μέγιστο γινόμενο έχουμε \displaystyle{M{F^2}=} \frac{{{d^2}}}{4},} ή \displaystyle{{\left( {AB \cdot BC} \right)_{\max }} = 2\frac{{{d^2}}}{4} = \frac{{{d^2}}}{2}}

ενώ αν η (\delta) είναι σε τέτοια θέση ώστε το μέσο M «πέφτει» εξωτερικά του OT άρα και του κύκλου και για να υπάρχει χορδή έστω και μηδενική (κατά την έννοια του μηδενικού ευθυγράμμου τμήματος) για το μέγιστο γινόμενο έχουμε:

TI^2={O{'}}T\cdot TO=(d-R)R, άρα  \displaystyle (AB \cdot B{C)_{\max }} = 2R\left( {d - R} \right) .
Γ.Ριζος 3.png
Γ.Ριζος 3.png (18.36 KiB) Προβλήθηκε 360 φορές


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5239
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Μέγιστο γινόμενο

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Παρ Μάιος 25, 2018 4:04 pm

Ερώτημα (επί τη ευκαιρία) για να συνεχίσουμε τη σοβαρή Μαθηματική μας διασκέδαση:

Αν γνωρίζουμε ότι το άθροισμα δύο θετικών διάφορων μεταξύ τους αριθμών είναι σταθερό, υπάρχει το μέγιστο του γινομένου τους;


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4060
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Μέγιστο γινόμενο

#15

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Παρ Μάιος 25, 2018 9:56 pm

Καλησπέρα σε όλους. Δίνω μια απάντηση στο ερώτημα του Σωτήρη.

Δίχως να είναι αναγκαία συνθήκη το να είναι θετικοί οι αριθμοί, η απάντηση εξαρτάται από το πεδίο ορισμού των αριθμών.

Αν π.χ. οι αριθμοί είναι οι x, y με x+y=1, με x \in \left ( \frac{1}{2} ,1 \right ), το γινόμενό τους δεν έχει μέγιστο.

Αντιθέτως για τους αριθμούς x, y με άθροισμα x+y=1, για x \in R, το γινόμενό τους έχει μέγιστο για  \displaystyle x=y=\frac{1}{2}, δηλαδή όταν οι όροι γίνουν ίσοι.

Αν όμως θεωρήσουμε το άθροισμα x+y=1 με x \in Z, τότε το γινόμενό τους έχει μέγιστο για x = 0 ή για x = 1, δηλαδή έχει μέγιστο, ενώ οι x, y
είναι άνισοι.

Επίσης, το γινόμενο  \displaystyle \left ( 1-\frac{1}{x} \right ) \left (1+\frac{1}{x}\right ) δεν έχει μέγιστο για κάθε x \in R^*

Το ίδιο συμβαίνει και αν θεωρήσουμε x > 1, οπότε είναι και οι δύο όροι θετικοί.

Ακόμα να δώσω ένα παράδειγμα άνισων θετικών μεταβλητών με σταθερό άθροισμα που έχουν μέγιστο (για άπειρες τιμές του x).

\left ( sinx+2 \right )\left ( 6-sinx \right ).


Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5239
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Μέγιστο γινόμενο

#16

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Σάβ Μάιος 26, 2018 9:14 am

S.E.Louridas έγραψε:
Παρ Μάιος 25, 2018 4:04 pm
Αν γνωρίζουμε ότι το άθροισμα δύο θετικών διάφορων μεταξύ τους αριθμών είναι σταθερό, υπάρχει το μέγιστο του γινομένου τους;
Καλημέρα.
Μετά την άψογη απάντηση του Γιώργου, δίνω και την δική μου εκδοχή.

Υποθέτουμε ότι υπάρχουν a,b > 0\;{\mu \varepsilon }}\;a \ne b\;{\kappa \alpha \iota }}\;a + b = c, όπου c είναι θετική σταθερή. Θεωρούμε ab=t>0 και παίρνουμε a\left( {c - a} \right) = t \Leftrightarrow {a^2} - ca + t = 0. Εδώ η διακρίνουσα \Delta  = {c^2} - 4t, είναι θετική ή μηδέν. Αν την θεωρήσουμε μηδέν, τότε t = \frac{{{c^2}}}{4} \Leftrightarrow ab = \frac{{{c^2}}}{4}. Επιλύουμε το σύστημα των εξισώσεων \displaystyle{a + b = c,\;ab = \frac{{{c^2}}}{4}} και τελικά έχουμε ως λύση \displaystyle{a = b = \frac{c}{2},} πράγμα άτοπο. Άρα δεχόμαστε \displaystyle{\Delta  > 0 \Leftrightarrow t < \frac{{{c^2}}}{4} \Leftrightarrow t < \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{4}.} Για τον τυχόντα \displaystyle{{t_0}:{t_0} < \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{4}, υπάρχει {t_1}:{t_0} < {t_1} < \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{4}.}
Το σύστημα των εξισώσεων \displaystyle{a + b = c,\;ab = {t_1}} έχει λύση ως προς \displaystyle{a,b} με τις αντίστοιχες τιμές – λύσεις για τους a και b να είναι θετικές και διάφορες μεταξύ τους. Αυτό σημαίνει ότι το \displaystyle{\frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{4},} είναι στη περίπτωση αυτή suprerum του συνόλου \displaystyle{\left( {0,\;\frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{4}} \right).} Συνεπώς, με βάση τα δεδομένα του προβλήματος δεν έχουμε μέγιστο γινόμενο.


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4060
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Μέγιστο γινόμενο

#17

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Σάβ Μάιος 26, 2018 11:46 am

Πράγματι η συζήτηση είναι ενδιαφέρουσα και εποικοδομητική. Θα χαιρόμουν να έβλεπα ότι την παρακολουθείτε με ενδιαφέρον. Θα φανεί από το αν θα υπάρξουν και άλλες συμμετοχές.

Σωστά ο Σωτήρης δεν χρησιμοποίησε παραγώγους, εφόσον δεν γνωρίζουμε αν οι μεταβλητές ορίζονται σε διαστήματα ή ενώσεις διαστημάτων.

Να σημειώσω ότι δεν βλέπω που είναι αναγκαίος ο περιορισμός οι όροι να είναι θετικοί .

Όσον αφορά το συμπέρασμα, επαναλαμβάνω αυτό που ξαναέγραψα: Η απάντηση εξαρτάται από το Πεδίο ορισμού των εμπλεκόμενων μεταβλητών.
Π.χ στο γεωμετρικό πρόβλημα που μελετήσαμε οι προϋποθέσεις της πρότασης του Σωτήρη ικανοποιούνται, αλλά μπορεί να προκύψει μέγιστο για άνισα τμήματα. Γιατί συμβαίνει αυτό;

Επίσης, στο τελευταίο παράδειγμα που ανάρτησα είναι

 \displaystyle A = \;\left( {sinx + 2} \right)\left( {6 - sinx} \right),\;\;x \in R
με  \displaystyle sinx + 2 > 0\;\; \wedge \;\;6 - sinx > 0\;\forall \;x \in R και  \displaystyle {A_{\max }} = 15 όταν  \displaystyle x = 2k\pi  + \frac{\pi }{2},\;\;k \in Z , (οπότε έχουμε μέγιστο γινόμενο, αν και οι παράγοντες δεν είναι ίσοι, όπως απαιτούσε η υπόθεση).
Γιατί συμβαίνει αυτό;

Δίνω ακόμα ένα (ιστορικά καταγεγραμμένο) παράδειγμα (άνω των 100 ετών):

Το γινόμενο  \displaystyle A = \left( { - {x^2} + 6x + 3} \right)\left( {{x^2} - 6x + 22} \right) ορίζεται για κάθε x \in R .
Έχει σταθερό άθροισμα 25 και μέγιστο γινόμενο ίσο με 156 για x = 3, οπότε οι παράγοντες είναι ίσοι με 12 και 13 αντίστοιχα, άρα άνισοι μεταξύ τους.

Αν, επιπλέον θέλουμε να ισχύει η απαίτηση οι όροι να είναι θετικοί, απλά φράσσουμε το x π.χ. στο διάστημα (0, 5).
Γιατί συμβαίνει αυτό;

Η απάντησή μου είναι η εξής:
Αν το a που χρησιμοποιεί ο Σωτήρης ως μεταβλητή στο τριώνυμο φράσσεται σε σύνολο με m = min(a) και M = max(a), τότε εμπλέκεται μια ακόμα συνθήκη:  \displaystyle m \le a \le M \Leftrightarrow m \le \frac{{c \pm \sqrt {{c^2} - 4t} }}{2} \le M που, κατά περίπτωση, μπορεί να δώσει ακρότατα, (συνδιαζόμενη με τη συνθήκη ύπαρξης ριζών  \displaystyle t \le \frac{{{c^2}}}{4} ).


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης