τετραγωνάκια ενός 
τετραγώνου είτε άσπρο είτε μαύρο. Κατόπιν μπορούμε να επιλέξουμε οποιοδήποτε 
ή οποιοδήποτε 
υποτετράγωνο και να αλλάξουμε τα χρώματα όλων των κελιών του. Επαναλάβουμε αυτή την διαδικασία όσες φορές θέλουμε. Δείξτε ότι υπάρχουν αρχικές καταστάσεις από τις οποίες δεν μπορούμε να καταλήξουμε σε μονόχρωμο
τετράγωνο. Σχόλιο: Έχουμε δει στο φόρουμ διάφορα τέτοια προβλήματα που τα αντιμετωπίζουμε με μία αναλλοίωτη. Η λύση που έχω στον νου μου για το παραπάνω είναι σε άλλο μήκος κύματος. Βασίζεται σε διαφορετική ιδέα.
όπου μας δίνονται μόνο 
διανύσματα. Προφανώς δεν παράγουν τον χώρο άρα υπάρχουν καταστάσεις που δεν μπορούν να πάνε στην κατάσταση όπου όλα είναι χρωματισμένα άσπρα. Άρα ούτε και στην κατάσταση όπου όλα είναι μαύρα. (Αφού από το «όλα μαύρα» μπορούμε εύκολα να πάμε στο «όλα άσπρα».)
ή 
τετράγωνο αποφασίσουμε αν θα αλλάξουν τα χρώματά του ή όχι. Δεν παίζει ρόλο η σειρα που θα το κάνουμε αυτό. Επίσης αλλαγή π.χ. στο ίδιο τετράγωνο 
φορές ισοδυναμεί με καμία αλλαγή κ.τ.λ. Έχουμε 
τετράγωνα 
τετράγωνα 
τετράγωνα και άρα 
διαφορετικούς τρόπους να κάνουμε αλλαγές. 
διαφορετικές καταστάσεις. Άρα κάποιες από αυτές δεν λαμβάνονται αν ξεκινήσουμε από το τετράγωνο όπου είναι όλα άσπρα. Ισοδύναμα, από κάποιες καταστάσεις δεν μπορούμε να φτάσουμε στο τετράγωνο όπου όλα είναι άσπρα. Άρα ούτε και στην κατάσταση όπου όλα είναι μαύρα.![\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
\clip(-0.7,-0.48) rectangle (4.68,4.6);
\fill[line width=2.pt,fill=black,fill opacity=1.0] (0.,3.) -- (1.,3.) -- (1.,1.) -- (0.,1.) -- cycle;
\fill[line width=2.pt,fill=black,fill opacity=1.0] (1.,4.) -- (1.,3.) -- (3.,3.) -- (3.,4.) -- cycle;
\fill[line width=2.pt,fill=black,fill opacity=1.0] (3.,3.) -- (3.,1.) -- (4.,1.) -- (4.,3.) -- cycle;
\fill[line width=2.pt,fill=black,fill opacity=1.0] (1.,1.) -- (1.,0.) -- (3.,0.) -- (3.,1.) -- cycle;
\draw [line width=1.2pt] (0.,0.)-- (0.,4.);
\draw [line width=1.2pt] (0.,4.)-- (4.,4.);
\draw [line width=1.2pt] (4.,4.)-- (4.,0.);
\draw [line width=1.2pt] (4.,0.)-- (0.,0.);
\draw [line width=1.2pt] (1.,0.)-- (1.,4.);
\draw [line width=1.2pt] (2.,4.)-- (2.,0.);
\draw [line width=1.2pt] (3.,0.)-- (3.,4.);
\draw [line width=1.2pt] (0.,3.)-- (4.,3.);
\draw [line width=1.2pt] (4.,2.)-- (0.,2.);
\draw [line width=1.2pt] (0.,1.)-- (4.,1.);
\draw [line width=1.2pt] (0.,3.)-- (1.,3.);
\draw [line width=1.2pt] (1.,3.)-- (1.,1.);
\draw [line width=1.2pt] (1.,1.)-- (0.,1.);
\draw [line width=1.2pt] (0.,1.)-- (0.,3.);
\draw [line width=1.2pt] (1.,4.)-- (1.,3.);
\draw [line width=1.2pt] (1.,3.)-- (3.,3.);
\draw [line width=1.2pt] (3.,3.)-- (3.,4.);
\draw [line width=1.2pt] (3.,4.)-- (1.,4.);
\draw [line width=1.2pt] (3.,3.)-- (3.,1.);
\draw [line width=1.2pt] (3.,1.)-- (4.,1.);
\draw [line width=1.2pt] (4.,1.)-- (4.,3.);
\draw [line width=1.2pt] (4.,3.)-- (3.,3.);
\draw [line width=1.2pt] (1.,1.)-- (1.,0.);
\draw [line width=1.2pt] (1.,0.)-- (3.,0.);
\draw [line width=1.2pt] (3.,0.)-- (3.,1.);
\draw [line width=1.2pt] (3.,1.)-- (1.,1.);
\end{tikzpicture}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/067dd2f62e76a273563a057049f85215.png "\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
\clip(-0.7,-0.48) rectangle (4.68,4.6);
\fill[line width=2.pt,fill=black,fill opacity=1.0] (0.,3.) -- (1.,3.) -- (1.,1.) -- (0.,1.) -- cycle;
\fill[line width=2.pt,fill=black,fill opacity=1.0] (1.,4.) -- (1.,3.) -- (3.,3.) -- (3.,4.) -- cycle;
\fill[line width=2.pt,fill=black,fill opacity=1.0] (3.,3.) -- (3.,1.) -- (4.,1.) -- (4.,3.) -- cycle;
\fill[line width=2.pt,fill=black,fill opacity=1.0] (1.,1.) -- (1.,0.) -- (3.,0.) -- (3.,1.) -- cycle;
\draw [line width=1.2pt] (0.,0.)-- (0.,4.);
\draw [line width=1.2pt] (0.,4.)-- (4.,4.);
\draw [line width=1.2pt] (4.,4.)-- (4.,0.);
\draw [line width=1.2pt] (4.,0.)-- (0.,0.);
\draw [line width=1.2pt] (1.,0.)-- (1.,4.);
\draw [line width=1.2pt] (2.,4.)-- (2.,0.);
\draw [line width=1.2pt] (3.,0.)-- (3.,4.);
\draw [line width=1.2pt] (0.,3.)-- (4.,3.);
\draw [line width=1.2pt] (4.,2.)-- (0.,2.);
\draw [line width=1.2pt] (0.,1.)-- (4.,1.);
\draw [line width=1.2pt] (0.,3.)-- (1.,3.);
\draw [line width=1.2pt] (1.,3.)-- (1.,1.);
\draw [line width=1.2pt] (1.,1.)-- (0.,1.);
\draw [line width=1.2pt] (0.,1.)-- (0.,3.);
\draw [line width=1.2pt] (1.,4.)-- (1.,3.);
\draw [line width=1.2pt] (1.,3.)-- (3.,3.);
\draw [line width=1.2pt] (3.,3.)-- (3.,4.);
\draw [line width=1.2pt] (3.,4.)-- (1.,4.);
\draw [line width=1.2pt] (3.,3.)-- (3.,1.);
\draw [line width=1.2pt] (3.,1.)-- (4.,1.);
\draw [line width=1.2pt] (4.,1.)-- (4.,3.);
\draw [line width=1.2pt] (4.,3.)-- (3.,3.);
\draw [line width=1.2pt] (1.,1.)-- (1.,0.);
\draw [line width=1.2pt] (1.,0.)-- (3.,0.);
\draw [line width=1.2pt] (3.,0.)-- (3.,1.);
\draw [line width=1.2pt] (3.,1.)-- (1.,1.);
\end{tikzpicture}")