Όλοι ακέραιοι 2

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9748
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Όλοι ακέραιοι 2

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Ιούλ 15, 2018 12:17 pm

Όλοι  ακέραιοι.png
Όλοι ακέραιοι.png (13.11 KiB) Προβλήθηκε 97 φορές
Στο ορθογώνιο τραπέζιο OABK , όλες του οι πλευρές έχουν ακέραια μήκη .

Οι άνισοι κύκλοι (O) και (K) εφάπτονται μεταξύ τους και του τμήματος AB .

Δώστε τη δική σας λύση . Όσο μικρότερα τα νούμερα τόσο καλύτερα !



Λέξεις Κλειδιά:
Xriiiiistos
Δημοσιεύσεις: 33
Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm

Re: Όλοι ακέραιοι 2

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Xriiiiistos » Κυρ Ιούλ 15, 2018 12:48 pm

OA=r και KB=R όπου R,r ακέραιοι με R> r.
Παίρνουμε σημείο C στην KB ώστε OC\perp KB. Η OK=R+r είναι ακέραιο μήκος. Τώρα πρέπει η AB να είναι ακέραιος.

Το OABC είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο οπότε AB=OC και CB=OA οπότε CK=R-r και αφού OCK ορθογώνιο τότε OC^{2}=OK^{2}-KC^{2}=(R+r)^{2}-(R-r)^{2}=4Rr

Τώρα προφανώς το4Rr πρέπει να είναι τέλειο τετράγωνο ακέραιο αριθμού οπότε πρέπει το Rr να είναι επίσης. Το μικρότερο τέλειο τετράγωνο ακέραιου αριθμού μετά 1 είναι το 4. Οπότε για r=1
kai R=4 Είναι η μικρότερη λύση


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες