Το ορθογώνιο του Προκόπη

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9748
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Το ορθογώνιο του Προκόπη

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Ιούλ 20, 2018 9:37 am

Το  ορθογώνιο του  Προκόπη.png
Το ορθογώνιο του Προκόπη.png (11.06 KiB) Προβλήθηκε 205 φορές
Ο φίλος μου ο Προκόπης θέλει να κατασκευάσει ένα ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle ABC , στο οποίο

αν σχεδιάσει το ύψος AD και τη διχοτόμο BE , η ευθεία DE να τμήσει την προέκταση

της BA σε σημείο S , ώστε : AS=AB . Μετά από επίμονες προσπάθειες , πρότεινε ένα

ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές AB=5 και AC=4 . Έχετε καλύτερη πρόταση ;



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4042
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Το ορθογώνιο του Προκόπη

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Παρ Ιούλ 20, 2018 11:02 am

Έχουμε! Θανάση, θα πρότεινα στον Προκόπη αν πάρει το AB=5, να πάρει το AC περίπου 4,00121295.


Αν θέλει ακρίβεια, ας δοκιμάσει  AC= \displaystyle \frac{5}{2}\sqrt {\frac{{1 + \sqrt {17} }}{2}} \cdot AB


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6844
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Το ορθογώνιο του Προκόπη

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Ιούλ 20, 2018 11:49 am

Παρόμοιο με τον Γιώργο Ρίζο.

Κατασκευάζω ορθογώνιο τρίγωνο ABC( \widehat A=90^0), με \boxed{a = \frac{c}{4}\left( {1 + \sqrt {17} } \right)}

Και η απόδειξη:
Προκόπης.png
Προκόπης.png (12.56 KiB) Προβλήθηκε 168 φορές
Από Van Aubel, \displaystyle \frac{{CE}}{{EA}} = \frac{{CZ}}{{ZS}} + \frac{{CD}}{{DB}} = 2\frac{{CD}}{{DB}} = \frac{{2{b^2}}}{{{c^2}}} = \frac{{2{a^2} - 2{c^2}}}{{{c^2}}}

Αλλά από θεώρημα διχοτόμου, \displaystyle \frac{{CE}}{{EA}} = \frac{a}{c}. Από αυτές τις σχέσεις παίρνουμε την εξίσωση 2a^2-ac-2c^2=0, κλπ...
τελευταία επεξεργασία από george visvikis σε Παρ Ιούλ 20, 2018 4:15 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4042
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Το ορθογώνιο του Προκόπη

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Παρ Ιούλ 20, 2018 3:37 pm

Καλησπέρα σε όλους. Δίνω και μια ΑναλυτικοΓεωμετρική προσέγγιση με το σχήμα του Θανάση. Προφανώς η λύση μου δεν είναι καθόλου "διασκεδαστική", άρα είμαι εκτός φακέλου κι ελπίζω να μην με πάρει χαμπάρι ο επιμελητής.

Πάντως η προσέγγιση που πέτυχε ο Θανάσης είναι όντως διασκεδαστική!

Το  ορθογώνιο του  Προκόπη.png
Το ορθογώνιο του Προκόπη.png (11.06 KiB) Προβλήθηκε 141 φορές

Έστω A(0, 0), B(c, 0), C(0, b), b, c >0.

Τότε  \displaystyle BC:\;\;y =  - \frac{b}{c}x + b , οπότε  \displaystyle AD:\;\;y = \frac{c}{b}x , άρα  \displaystyle D\left( {\frac{{{b^2}c}}{{{b^2} + {c^2}}},\;\frac{{b{c^2}}}{{{b^2} + {c^2}}}} \right) .

Έστω S(-c, 0). Τότε  \displaystyle DS:\;\;y = \frac{{bc}}{{2{b^2} + {c^2}}}x + \frac{{b{c^2}}}{{2{b^2} + {c^2}}} . Άρα  \displaystyle E\left( {0,\;\frac{{b{c^2}}}{{2{b^2} + {c^2}}}} \right) .

Η συνθήκη: «Η BE είναι διχοτόμος της  \displaystyle \widehat B » ισοδυναμεί (*) με τη σχέση:

 \displaystyle \frac{{\left( {AE} \right)}}{{\left( {EC} \right)}} = \frac{{\left( {AB} \right)}}{{\left( {BC} \right)}} \Leftrightarrow \frac{{\frac{{b{c^2}}}{{2{b^2} + {c^2}}}}}{{\frac{{2{b^3}}}{{2{b^2} + {c^2}}}}} = \frac{c}{{\sqrt {{b^2} + {c^2}} }} \Leftrightarrow \frac{{{c^2}}}{{4{b^4}}} = \frac{1}{{{b^2} + {c^2}}} \Leftrightarrow {c^4} + {b^2}{c^2} = 4{b^4} .

Για AB=5, είναι  \displaystyle AC = \frac{5}{2}\sqrt {\frac{{1 + \sqrt {17} }}{2}} .


(*) Το Θεώρημα της διχοτόμου ισχύει και αντίστροφα. Βλέπε Ευκλείδεια Γεωμετρία Α΄, Β΄ Λυκείου, εκδ. Διόφαντος, 2017, σελ. 158.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες