96 %

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9748
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

96 %

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Αύγ 08, 2018 7:59 am

96 %.png
96 %.png (11.04 KiB) Προβλήθηκε 108 φορές
Στο σημείο S(1,a) της υπερβολής με εξίσωση : y=\dfrac{a}{x} ( a θετικός ακέραιος ) ,

φέρω την εφαπτομένη και εν συνεχεία το κάθετο προς αυτήν τμήμα OT .

Δείξτε ότι (OST)<a και βρείτε την τιμή του a για την οποία : \dfrac{(OST)}{a}=96\% .

( Εννοείται ότι στα ζητούμενα , το a εκφράζει τετραγωνικές μονάδες )



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10230
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: 96 %

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Αύγ 08, 2018 9:24 am

KARKAR έγραψε:
Τετ Αύγ 08, 2018 7:59 am
96 %.pngΣτο σημείο S(1,a) της υπερβολής με εξίσωση : y=\dfrac{a}{x} ( a θετικός ακέραιος ) ,

φέρω την εφαπτομένη και εν συνεχεία το κάθετο προς αυτήν τμήμα OT .

Δείξτε ότι (OST)<a και βρείτε την τιμή του a για την οποία : \dfrac{(OST)}{a}=96\% .

( Εννοείται ότι στα ζητούμενα , το a εκφράζει τετραγωνικές μονάδες )
Καλή άσκηση γιατί αφενός ελέγχει αρκετές γνώσεις για έναν πρωτάρη και από την άλλη δεν χρειάζεται καθόλου σκέψη
σε κανένα βήμα της. Έτσι δεν αποθαρρύνονται οι μαθητές με έφεση για γνώση, που βρίσκονται στα πρώτα τους βήματα.

Από την y=\dfrac{a}{x} έχουμε y'=-\dfrac{a}{x^2}, οπότε η κλίση στο S είναι -a. Άρα η ST έχει εξίσωση y=-ax+2a και η κάθετή της OT έχει y=\dfrac{x}{a}. Οι δύο τέμνονται στο T\left ( \dfrac{2a^2}{1+a^2}, \, \dfrac{2a}{1+a^2} \right ).

Στα παρακάτω παίρνω χωρίς βλάβη, λόγω συμμετρίας, a\ge 1 (όπως στο σχήμα).

Έπεται απλά ότι \displaystyle{ OT = \dfrac{2a}{\sqrt {1+a^2} } } και \displaystyle{ ST=\dfrac{a^2-1}{\sqrt {1+a^2} } }. Συνεπώς (OST)= \dfrac{a(a^2-1)}{a^2+1 }<a . Η τιμή με 96% προκύπτει από την \dfrac{a^2-1}{a^2+1 }= \dfrac {96}{100} , δηλαδή a=7.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης