Χωρίς τριγωνομετρία 5

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9904
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Χωρίς τριγωνομετρία 5

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Αύγ 18, 2018 8:19 pm

χωρίς  τριγωνομετρία.png
χωρίς τριγωνομετρία.png (7.61 KiB) Προβλήθηκε 167 φορές
Στο ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle ABC , με AC=3AB , προεκτείνουμε την AB κατά

τμήμα BS=y ,ώστε η CB να καταστεί διχοτόμος της \widehat{ACS} . Υπολογίστε το y .

Απαράβατος όρος : Απαγορεύεται η τριγωνομετρία !



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7093
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Χωρίς τριγωνομετρία 5

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Αύγ 18, 2018 8:53 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Αύγ 18, 2018 8:19 pm
χωρίς τριγωνομετρία.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle ABC , με AC=3AB , προεκτείνουμε την AB κατά

τμήμα BS=y ,ώστε η CB να καταστεί διχοτόμος της \widehat{ACS} . Υπολογίστε το y .

Απαράβατος όρος : Απαγορεύεται η τριγωνομετρία !
No Trig.5.png
No Trig.5.png (10.33 KiB) Προβλήθηκε 160 φορές
Με Πυθαγόρειο στο μεγάλο ορθογώνιο, βρίσκω \boxed{y=\frac{5x}{4}}


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4100
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Χωρίς τριγωνομετρία 5

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Σάβ Αύγ 18, 2018 9:16 pm

Καλησπέρα σε όλους.

Η προκλητική εκφώνηση με ανάγκασε να χρησιμοποιήσω Θεώρημα Εσωτερικής Διχοτόμου.
χωρίς  τριγωνομετρία.png
χωρίς τριγωνομετρία.png (7.61 KiB) Προβλήθηκε 152 φορές

Είναι  \displaystyle \frac{{BS}}{{AB}} = \frac{{CS}}{{CA}} \Leftrightarrow \frac{y}{x} = \frac{{\sqrt {{{\left( {x + y} \right)}^2} + 9{x^2}} }}{{3x}} \Leftrightarrow 8{y^2} - 2xy - 10{x^2} = 0 \Leftrightarrow y = \frac{{5x}}{4} , αφού x, y > 0.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4100
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Χωρίς τριγωνομετρία 5

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Σάβ Αύγ 18, 2018 9:27 pm

Και μια ακόμα δίχως Τριγωνομετρία (φανερή τουλάχιστον....). Απ' ότι βλέπετε απέφυγα να χρησιμοποιήσω τις λέξεις ημίτονο, συνημίτονο κ.λπ.

18-08-2018 Διασκεδαστικά Μαθηματικά.jpg
18-08-2018 Διασκεδαστικά Μαθηματικά.jpg (27.92 KiB) Προβλήθηκε 150 φορές


Έστω C(0,0), A(3, 0), B(3, 1), S(3, a), a>1 .

Αφού  \displaystyle \widehat {BCA} = \widehat {BCS}, θα είναι  \displaystyle \frac{{\overrightarrow {CA}  \cdot \overrightarrow {CB} }}{{\left| {\overrightarrow {CA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {CB} } \right|}} = \frac{{\overrightarrow {CS}  \cdot \overrightarrow {CB} }}{{\left| {\overrightarrow {CS} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {CB} } \right|}} \Leftrightarrow \frac{9}{3} = \frac{{9 + a}}{{\sqrt {9 + {a^2}} }} \Leftrightarrow 8{a^2} = 18a \Leftrightarrow a = \frac{9}{4}.

Οπότε  \displaystyle SB = \frac{5}{4}, με μονάδα συστήματος το 1 ή  \displaystyle SB = \frac{5}{4}x, αν θέσουμε AB = x.


Xriiiiistos
Δημοσιεύσεις: 88
Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Τοποθεσία: Αιγάλεω

Re: Χωρίς τριγωνομετρία 5

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Xriiiiistos » Σάβ Αύγ 18, 2018 10:30 pm

Ερώτηση, τα θεωρήματα όπως το πυθαγώριο δεν θεωρούνται τριγωνομετρία;


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10369
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Χωρίς τριγωνομετρία 5

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Αύγ 18, 2018 10:41 pm

Xriiiiistos έγραψε:
Σάβ Αύγ 18, 2018 10:30 pm
Ερώτηση, τα θεωρήματα όπως το πυθαγώριο δεν θεωρούνται τριγωνομετρία;
Το Πυθαγόρειο δεν είναι Τριγωνομετρία. Υπάρχει σε όλα τα βιβλία Γεωμετρίας με αρχή το παλαιότερο, τα περίφημα Στοιχεία
του Ευκλείδη.

Τώρα, η Τριγωνομετρία το θεωρεί γνωστό και ξεκινά από εκεί την Θεωρία της.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5912
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Χωρίς τριγωνομετρία 5

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Αύγ 19, 2018 10:50 am

KARKAR έγραψε:
Σάβ Αύγ 18, 2018 8:19 pm
χωρίς τριγωνομετρία.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle ABC , με AC=3AB , προεκτείνουμε την AB κατά

τμήμα BS=y ,ώστε η CB να καταστεί διχοτόμος της \widehat{ACS} . Υπολογίστε το y .

Απαράβατος όρος : Απαγορεύεται η τριγωνομετρία !
9{y^2} = 9{x^2} + {(x + y)^2} \Rightarrow 9(y + x)(y - x) = {(y + x)^2} \Rightarrow 9(y - x) = y + x και άρα

\boxed{y = \frac{{5x}}{4}}
Χωρίς τριγωνομετρία_5_κατά KARKAR_1.png
Χωρίς τριγωνομετρία_5_κατά KARKAR_1.png (10.56 KiB) Προβλήθηκε 82 φορές
Αλλιώς.

Από τη γνωστή ( ; ) σχέση: B{C^2} = CS \cdot CA - BS \cdot BA και λόγω Π. Θ. στο \vartriangle ABC

10{x^2} = 9xy - xy \Rightarrow 10x = 8y \Rightarrow \boxed{y = \frac{{5x}}{4}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης