Άθλος !

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9904
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Άθλος !

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Αύγ 24, 2018 1:57 pm

Άθλος !.png
Άθλος !.png (10 KiB) Προβλήθηκε 162 φορές
Στο ισοσκελές τραπέζιο ABCD οι βάσεις AD,BC οι μη παράλληλες πλευρές AB,DC αλλά

και οι διαγώνιοι AC,BD έχουν ακέραια μήκη . Αν νομίζετε ότι είναι εύκολο , φτιάξτε κι εσείς

ένα τέτοιο τραπέζιο και εξηγήστε πως πετύχατε αυτόν τον άθλο :lol:



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7093
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Άθλος !

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Αύγ 24, 2018 2:21 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Αύγ 24, 2018 1:57 pm
Άθλος !.pngΣτο ισοσκελές τραπέζιο ABCD οι βάσεις AD,BC οι μη παράλληλες πλευρές AB,DC αλλά

και οι διαγώνιοι AC,BD έχουν ακέραια μήκη . Αν νομίζετε ότι είναι εύκολο , φτιάξτε κι εσείς

ένα τέτοιο τραπέζιο και εξηγήστε πως πετύχατε αυτόν τον άθλο :lol:

a=4, b=11, c=10, d=12
Άθλος!.png
Άθλος!.png (8.57 KiB) Προβλήθηκε 150 φορές
Προκύπτει (λόγω εγγραψιμότητας) από την ισότητα ab=d^2-c^2 με δοκιμές.


Xriiiiistos
Δημοσιεύσεις: 88
Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Τοποθεσία: Αιγάλεω

Re: Άθλος !

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Xriiiiistos » Παρ Αύγ 24, 2018 2:30 pm

Το κατάλληλο θεώρημμα μερικές φορές κάνει τον άθλο παιχνιδάκι :)

έστω a,c γνωστά θα βρούμε το κατάλληλο b ώστε το d να είναι ακέραιος. BD=AC=d επίσης κάθε ισοσκελές τραπέζιο είναι εγγράψιμο σε κύκλο.

Από το θεώρημμα του πτολεμαίου έχουμε AD\cdot BC+AB\cdot DC=AC\cdot BD<=>c^{2}+ba=d^{2} και τα λοιπά

με πρόλαβαν :winner_second_h4h:


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10369
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Άθλος !

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Αύγ 24, 2018 6:54 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Αύγ 24, 2018 1:57 pm
Στο ισοσκελές τραπέζιο ABCD οι βάσεις AD,BC οι μη παράλληλες πλευρές AB,DC αλλά

και οι διαγώνιοι AC,BD έχουν ακέραια μήκη . Αν νομίζετε ότι είναι εύκολο , φτιάξτε κι εσείς

ένα τέτοιο τραπέζιο και εξηγήστε πως πετύχατε αυτόν τον άθλο :lol:
Μπορούμε εύκολα να το πετύχουμε και μάλιστα με τραπέζιο που έχει και άλλες ωραίες ιδιότητες. Π.χ. στο αρχικό σχήμα
παίρνουμε ίσα ορθογώνια τρίγωνα ABC, DBC με ακέραιες (και ρητές μας αρκούν) πλευρές. Αν H,K οι προβολές των A,D στην
BC τότε από τις ιδιότητες των ορθογωνίων τριγώνων τα μήκη BH, \, KC είναι ρητοί αριθμοί, συγκεκριμένα BH=KC= \frac {c^2}{b}.
Έπεται ότι AD ίσον ρητός.
Παίρνουμε τώρα ένα ομοιόθετο σχήμα πολλαπλασιάζοντας τα πάντα επί οποιοδήποτε πολλαπλάσιο του παρονομαστή του BH=KC= \frac {c^2}{b}. Τελειώσαμε.

Χάριν παραδείγματος, μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε επί b, δηλαδή έχουμε το τραπέζιο BC=b^2, AB=CD=bc, \, AC =BD=bd , με c^2+d^2=b^2. Εδώ είναι BH=KC=c^2 και άρα AC=b^2-2c^2. Π.χ. BC=25, \, AB=CD=15, \, AC =BD=20, \, AC=7, \angle BAC=90^o.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης