Σελίδα 1 από 1

Άθλος !

Δημοσιεύτηκε: Παρ Αύγ 24, 2018 1:57 pm
από KARKAR
Άθλος !.png
Άθλος !.png (10 KiB) Προβλήθηκε 165 φορές
Στο ισοσκελές τραπέζιο ABCD οι βάσεις AD,BC οι μη παράλληλες πλευρές AB,DC αλλά

και οι διαγώνιοι AC,BD έχουν ακέραια μήκη . Αν νομίζετε ότι είναι εύκολο , φτιάξτε κι εσείς

ένα τέτοιο τραπέζιο και εξηγήστε πως πετύχατε αυτόν τον άθλο :lol:

Re: Άθλος !

Δημοσιεύτηκε: Παρ Αύγ 24, 2018 2:21 pm
από george visvikis
KARKAR έγραψε:
Παρ Αύγ 24, 2018 1:57 pm
Άθλος !.pngΣτο ισοσκελές τραπέζιο ABCD οι βάσεις AD,BC οι μη παράλληλες πλευρές AB,DC αλλά

και οι διαγώνιοι AC,BD έχουν ακέραια μήκη . Αν νομίζετε ότι είναι εύκολο , φτιάξτε κι εσείς

ένα τέτοιο τραπέζιο και εξηγήστε πως πετύχατε αυτόν τον άθλο :lol:

a=4, b=11, c=10, d=12
Άθλος!.png
Άθλος!.png (8.57 KiB) Προβλήθηκε 153 φορές
Προκύπτει (λόγω εγγραψιμότητας) από την ισότητα ab=d^2-c^2 με δοκιμές.

Re: Άθλος !

Δημοσιεύτηκε: Παρ Αύγ 24, 2018 2:30 pm
από Xriiiiistos
Το κατάλληλο θεώρημμα μερικές φορές κάνει τον άθλο παιχνιδάκι :)

έστω a,c γνωστά θα βρούμε το κατάλληλο b ώστε το d να είναι ακέραιος. BD=AC=d επίσης κάθε ισοσκελές τραπέζιο είναι εγγράψιμο σε κύκλο.

Από το θεώρημμα του πτολεμαίου έχουμε AD\cdot BC+AB\cdot DC=AC\cdot BD<=>c^{2}+ba=d^{2} και τα λοιπά

με πρόλαβαν :winner_second_h4h:

Re: Άθλος !

Δημοσιεύτηκε: Παρ Αύγ 24, 2018 6:54 pm
από Mihalis_Lambrou
KARKAR έγραψε:
Παρ Αύγ 24, 2018 1:57 pm
Στο ισοσκελές τραπέζιο ABCD οι βάσεις AD,BC οι μη παράλληλες πλευρές AB,DC αλλά

και οι διαγώνιοι AC,BD έχουν ακέραια μήκη . Αν νομίζετε ότι είναι εύκολο , φτιάξτε κι εσείς

ένα τέτοιο τραπέζιο και εξηγήστε πως πετύχατε αυτόν τον άθλο :lol:
Μπορούμε εύκολα να το πετύχουμε και μάλιστα με τραπέζιο που έχει και άλλες ωραίες ιδιότητες. Π.χ. στο αρχικό σχήμα
παίρνουμε ίσα ορθογώνια τρίγωνα ABC, DBC με ακέραιες (και ρητές μας αρκούν) πλευρές. Αν H,K οι προβολές των A,D στην
BC τότε από τις ιδιότητες των ορθογωνίων τριγώνων τα μήκη BH, \, KC είναι ρητοί αριθμοί, συγκεκριμένα BH=KC= \frac {c^2}{b}.
Έπεται ότι AD ίσον ρητός.
Παίρνουμε τώρα ένα ομοιόθετο σχήμα πολλαπλασιάζοντας τα πάντα επί οποιοδήποτε πολλαπλάσιο του παρονομαστή του BH=KC= \frac {c^2}{b}. Τελειώσαμε.

Χάριν παραδείγματος, μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε επί b, δηλαδή έχουμε το τραπέζιο BC=b^2, AB=CD=bc, \, AC =BD=bd , με c^2+d^2=b^2. Εδώ είναι BH=KC=c^2 και άρα AC=b^2-2c^2. Π.χ. BC=25, \, AB=CD=15, \, AC =BD=20, \, AC=7, \angle BAC=90^o.