Νεοκατασκευή

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10097
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Νεοκατασκευή

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Σεπ 06, 2018 6:46 pm

Νεοκατασκευή.png
Νεοκατασκευή.png (13.97 KiB) Προβλήθηκε 318 φορές
Στο ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle ABC , διαιρέσαμε με τμήμα AS την ορθή γωνία σε δύο

μέρη με λόγο \widehat{BAS}:\widehat{CAS}=1:2 και ( με κάποια έκπληξη ! ) διαπιστώσαμε

ότι και η υποτείνουσα BC διαιρέθηκε επίσης κατά λόγο : BS:SC=1:2 .

Κατασκευάστε αυτό το σχήμα χρησιμοποιώντας - ενδεχομένως - "νεότερα" εργαλεία :lol:



Λέξεις Κλειδιά:
Altrian
Δημοσιεύσεις: 64
Εγγραφή: Τρί Μάιος 01, 2018 4:51 pm
Τοποθεσία: Βούλα, Αττική

Re: Νεοκατασκευή

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Altrian » Πέμ Σεπ 06, 2018 7:47 pm

Κατασκευάζουμε κύκλο διαμέτρου 3x. Σχηματίζουμε γωνία 60 σε σχέση με την διάμετρο με κορυφή το κέντρο του κύκλου, που τέμνει το κύκλο στο D. Η DS τέμνει τον κύκλο στο ζητούμενο σημείοA
Συνημμένα
neokataskevi.png
neokataskevi.png (25.58 KiB) Προβλήθηκε 310 φορές


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10097
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Νεοκατασκευή

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Σεπ 06, 2018 8:03 pm

Χεχε ! Καλό :!: . Ας υπολογίσουμε τώρα την \tan C


Altrian
Δημοσιεύσεις: 64
Εγγραφή: Τρί Μάιος 01, 2018 4:51 pm
Τοποθεσία: Βούλα, Αττική

Re: Νεοκατασκευή

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Altrian » Πέμ Σεπ 06, 2018 8:51 pm

Αν δεν έχω κάνει λάθος είναι: \frac{\sqrt{3}}{2}. Αν είναι σωστό να γράψω και τη λύση.


nikkru
Δημοσιεύσεις: 333
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 26, 2009 6:42 pm

Re: Νεοκατασκευή

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikkru » Πέμ Σεπ 06, 2018 9:06 pm

Altrian έγραψε:
Πέμ Σεπ 06, 2018 8:51 pm
Αν δεν έχω κάνει λάθος είναι: \frac{\sqrt{3}}{2}. Αν είναι σωστό να γράψω και τη λύση.
Σωστό, με νόμο ημιτόνων στα ASB,ASC είναι: sinC=AS\frac{sin60^o}{2x} , cosC=sinB=AS\frac{sin30^o}{x} οπότε, tanC=\frac{sinC}{cosC}=\frac{\sqrt{3}}{2}.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7314
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Νεοκατασκευή

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Σεπ 07, 2018 12:04 am

KARKAR έγραψε:
Πέμ Σεπ 06, 2018 6:46 pm
Νεοκατασκευή.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle ABC , διαιρέσαμε με τμήμα AS την ορθή γωνία σε δύο

μέρη με λόγο \widehat{BAS}:\widehat{CAS}=1:2 και ( με κάποια έκπληξη ! ) διαπιστώσαμε

ότι και η υποτείνουσα BC διαιρέθηκε επίσης κατά λόγο : BS:SC=1:2 .

Κατασκευάστε αυτό το σχήμα χρησιμοποιώντας - ενδεχομένως - "νεότερα" εργαλεία :lol:
Νεοκατασκευή.png
Νεοκατασκευή.png (11.93 KiB) Προβλήθηκε 254 φορές
Κατασκευάζω το ημικύκλιο διαμέτρου BC=3x και το ισόπλευρο τρίγωνο BCK, όπως φαίνεται στο σχήμα. Η SK τέμνει το ημικύκλιο στο A και ολοκληρώνεται η κατασκευή.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10097
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Νεοκατασκευή

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Σεπ 07, 2018 7:41 am

New construction plus.png
New construction plus.png (10.7 KiB) Προβλήθηκε 237 φορές
Αστεία τέλος ! Φέρω CT\perp AS . Αν O το κέντρο , δείξτε ότι : OT\perp AB


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7314
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Νεοκατασκευή

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Σεπ 07, 2018 9:42 am

KARKAR έγραψε:
Παρ Σεπ 07, 2018 7:41 am
New construction plus.pngΑστεία τέλος ! Φέρω CT\perp AS . Αν O το κέντρο , δείξτε ότι : OT\perp AB
Αρκεί να δείξω ότι OT||AC.
Νεοκατασκευή.β.png
Νεοκατασκευή.β.png (11.74 KiB) Προβλήθηκε 227 φορές
Stewart στο ABC με τέμνουσα AS: \displaystyle x{b^2} + 2x{c^2} = 3xA{S^2} + 6{x^3}\mathop  \Leftrightarrow \limits^{{b^2} + {c^2} = 9{x^2}} \boxed{A{S^2} = \frac{{3{x^2} + {c^2}}}{3}} (1)

Νόμος συνημιτόνων στο ASC: \displaystyle 4{x^2} = A{S^2} + {b^2} - bAS\mathop  \Leftrightarrow \limits^{(1)} \boxed{AS=\frac{2b}{3}} κι επειδή AT=\dfrac{b}{2}, θα είναι:

\displaystyle \frac{{AT}}{{AS}} = \frac{3}{4}. Αλλά, \displaystyle \frac{{CO}}{{CS}} = \frac{{\frac{{3x}}{2}}}{{2x}} = \frac{3}{4}, άρα \displaystyle \frac{{AT}}{{AS}} = \frac{{CO}}{{CS}} \Leftrightarrow \boxed{OT||AC}

Μήπως διάλεξα δύσκολο δρόμο; :lol:


nikkru
Δημοσιεύσεις: 333
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 26, 2009 6:42 pm

Re: Νεοκατασκευή

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikkru » Παρ Σεπ 07, 2018 10:42 am

KARKAR έγραψε:
Παρ Σεπ 07, 2018 7:41 am
New construction plus.pngΑστεία τέλος ! Φέρω CT\perp AS . Αν O το κέντρο , δείξτε ότι : OT\perp AB
.
Είναι OT//SZ/AC. Αργότερα η αιτιολόγηση.
Νεοκατασκευή.png
Νεοκατασκευή.png (14.38 KiB) Προβλήθηκε 209 φορές


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1495
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Νεοκατασκευή

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Παρ Σεπ 07, 2018 11:57 am

KARKAR έγραψε:
Πέμ Σεπ 06, 2018 6:46 pm
Νεοκατασκευή.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle ABC , διαιρέσαμε με τμήμα AS την ορθή γωνία σε δύο

μέρη με λόγο \widehat{BAS}:\widehat{CAS}=1:2 και ( με κάποια έκπληξη ! ) διαπιστώσαμε

ότι και η υποτείνουσα BC διαιρέθηκε επίσης κατά λόγο : BS:SC=1:2 .

Κατασκευάστε αυτό το σχήμα χρησιμοποιώντας - ενδεχομένως - "νεότερα" εργαλεία :lol:

Κατασκευάζουμε ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές \displaystyle AC = b και \displaystyle AD = b\sqrt 3 κι έστω

\displaystyle S το κ.βάρους του με \displaystyle CS \cap AD = B

Το ζητούμενο ορθογώνιο τρίγωνο με τις εν λόγω ιδιότητες είναι το \displaystyle \vartriangle ABC

Πράγματι, αν \displaystyle \left( {M,MA} \right) ο περίκυκλος του \displaystyle \vartriangle ADC θα είναι \displaystyle \angle AMD = {120^0} \Rightarrow \angle AMC = {60^0} \Rightarrow \vartriangle AMC ισόπλευρο.

Έτσι, \displaystyle \angle BAS = {30^0} και \displaystyle \frac{{BS}}{{SC}} = \frac{1}{2}

Τώρα για τα άλλα ερωτήματα έχουμε\displaystyle \boxed{\tan C = \frac{{\frac{{b\sqrt 3 }}{2}}}{b} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}}

Αν \displaystyle O,K μέσα των \displaystyle BC,MC είναι \displaystyle OK//BM//AC και \displaystyle TK//AC άρα \displaystyle T,O,K συνευθειακά με \displaystyle OT//AC \Rightarrow \boxed{OT \bot AB}
Νεοκατασκευή.png
Νεοκατασκευή.png (14.58 KiB) Προβλήθηκε 199 φορές


nikkru
Δημοσιεύσεις: 333
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 26, 2009 6:42 pm

Re: Νεοκατασκευή

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikkru » Παρ Σεπ 07, 2018 2:23 pm

nikkru έγραψε:
Παρ Σεπ 07, 2018 10:42 am
KARKAR έγραψε:
Παρ Σεπ 07, 2018 7:41 am
New construction plus.pngΑστεία τέλος ! Φέρω CT\perp AS . Αν O το κέντρο , δείξτε ότι : OT\perp AB
.
Είναι OT//SZ/AC. Αργότερα η αιτιολόγηση.
Αφού tanC=\frac{\sqrt{3}}{2}, είναι AB=\frac{\sqrt{3}}{2}AC. Ακόμη, AZ=tan30^o AC=\frac{\sqrt{3}}{3}AC, οπότε \frac{AB}{AZ}=\frac{3}{2}=\frac{CB}{CS}\Rightarrow SZ//AC,AC=3SZ.

Επίσης, \frac{CT}{TZ}=\frac{AC}{SZ}=3=\frac{OC}{OS}\Rightarrow OT//SZ//AC\Rightarrow OT\perp AB.
Νεοκατασκευή.png
Νεοκατασκευή.png (14.38 KiB) Προβλήθηκε 178 φορές


Altrian
Δημοσιεύσεις: 64
Εγγραφή: Τρί Μάιος 01, 2018 4:51 pm
Τοποθεσία: Βούλα, Αττική

Re: Νεοκατασκευή

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Altrian » Παρ Σεπ 07, 2018 3:17 pm

Βασιζόμενος στην έξυπνη κατασκευή του George_Visvikis με το ισόπλευρο πλευράς \large 3x σχηματίζουμε το \large \triangle HFC
όπου το \large S εκ κατασκευής είναι το βαρύκεντρο αυτού. Ετσι \large HS=2SD. \large \triangle HSO\approx \triangle CTS\Rightarrow \frac{HS}{SO}=\frac{SC}{ST}\Rightarrow \frac{HS}{x/2}=\frac{2x}{ST}\Rightarrow ST*HS/2=x*x/2\Rightarrow ST*SD=x*x/2
Αυτό σημαίνει ότι το τετράπλευρο \large TBDO είναι εγγράψιμο. Αρα \large \widehat{DTO}=60=\widehat{ATP} ως κατακορυφήν και \large TP κάθετη στην \large AB
Συνημμένα
neokataskevi_2.png
neokataskevi_2.png (53.58 KiB) Προβλήθηκε 171 φορές


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6019
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Νεοκατασκευή

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Σεπ 08, 2018 9:33 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Σεπ 07, 2018 7:41 am
New construction plus.pngΑστεία τέλος ! Φέρω CT\perp AS . Αν O το κέντρο , δείξτε ότι : OT\perp AB
Ανάλυση :
Νεοκατασκευή _Ανάλυση.png
Νεοκατασκευή _Ανάλυση.png (18.59 KiB) Προβλήθηκε 117 φορές
Ας είναι H η προβολή του S στην AC. Θέτω: AH = y \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  AS = 2y\,\,\kappa \alpha \iota  \hfill \\ 
  HC = 2y \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \boxed{\frac{{AC}}{{AS}} = \frac{3}{2}}\,\,(1)

Κατασκευή και λύση του … σοβαρού ερωτήματος ( κατά KARKAR!)
νεοκατασκευή σύνθεση.png
νεοκατασκευή σύνθεση.png (25.57 KiB) Προβλήθηκε 117 φορές

Γράφω τον Απολλώνιο κύκλο για κάθε σημείο M του οποίου : \boxed{\frac{{MC}}{{MS}} = \frac{3}{2}} , που τέμνει το ημικύκλιο διαμέτρου BC\, στο A. Ας ονομάσω δε τώρα , AT = u\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ST = t .

Επειδή : \dfrac{{AC}}{{AS}} = \dfrac{3}{2} \Rightarrow \dfrac{{2u}}{{u + t}} = \dfrac{3}{2} \Rightarrow u = 3t\,\,\,(2) . Αλλά προφανώς CO = 3OS δηλαδή :

\dfrac{{AT}}{{TS}} = \dfrac{{CO}}{{OS}} = 3 \Rightarrow OT//CA \Rightarrow \boxed{OT \bot AB}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης