Τομέας εκπλήξεων !

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9908
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Τομέας εκπλήξεων !

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Σεπ 19, 2018 12:46 pm

Τομέας  εκπλήξεων  !.png
Τομέας εκπλήξεων !.png (12.62 KiB) Προβλήθηκε 187 φορές
Α) Στον κυκλικό τομέα O\overset{\frown}{AB} εγγράψτε κύκλο (K) , εφαπτόμενο στο μέσο του τόξου του

και σε σημεία των πλευρών του , τα οποία ας ονομάσουμε S και T .

Β) Η χορδή AB τέμνει τον κύκλο στα σημεία P,Q . Για ποιο μέτρο της γωνίας του τομέα ,

προκύπτει PQ=ST ; Δεν απαγορεύεται η χρήση λογισμικού :lol:



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7101
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τομέας εκπλήξεων !

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Σεπ 20, 2018 9:41 am

KARKAR έγραψε:
Τετ Σεπ 19, 2018 12:46 pm
Τομέας εκπλήξεων !.pngΑ) Στον κυκλικό τομέα O\overset{\frown}{AB} εγγράψτε κύκλο (K) , εφαπτόμενο στο μέσο του τόξου του

και σε σημεία των πλευρών του , τα οποία ας ονομάσουμε S και T .
Για την κατασκευή.
Τομέας εκπλήξεων.α.png
Τομέας εκπλήξεων.α.png (11.84 KiB) Προβλήθηκε 117 φορές
Στο μέσο M του τόξου \overset\frown{AB} φέρνω εφαπτομένη που τέμνει τις OA, OB στα E, H αντίστοιχα.

Ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου OEH είναι ο ζητούμενος κύκλος.
KARKAR έγραψε:
Τετ Σεπ 19, 2018 12:46 pm

Β) Η χορδή AB τέμνει τον κύκλο στα σημεία P,Q . Για ποιο μέτρο της γωνίας του τομέα ,

προκύπτει PQ=ST ; Δεν απαγορεύεται η χρήση λογισμικού :lol:
Τομέας εκπλήξεων.β.png
Τομέας εκπλήξεων.β.png (14.64 KiB) Προβλήθηκε 104 φορές
Αν 2\theta η γωνία του τομέα τότε 2\theta\simeq 65,870239^\circ. Αργότερα η σκέψη μου (αν και το τελικό αποτέλεσμα βγήκε με χρήση λογισμικού).

Edit: Άρση απόκρυψης.
τελευταία επεξεργασία από george visvikis σε Παρ Σεπ 21, 2018 9:56 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7101
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τομέας εκπλήξεων !

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Σεπ 21, 2018 9:40 am

KARKAR έγραψε:
Τετ Σεπ 19, 2018 12:46 pm
Τομέας εκπλήξεων !.pngΑ) Β) Η χορδή AB τέμνει τον κύκλο στα σημεία P,Q . Για ποιο μέτρο της γωνίας του τομέα ,

προκύπτει PQ=ST ; Δεν απαγορεύεται η χρήση λογισμικού :lol:
Έστω 2\theta η γωνία του τομέα, R η ακτίνα του και r η ακτίνα του κύκλου. Είναι OK=R-r, OT=OS=\sqrt{R^2-2Rr}
Τομέας εκπλήξεων.γ.png
Τομέας εκπλήξεων.γ.png (16.28 KiB) Προβλήθηκε 58 φορές
\displaystyle \frac{r}{{R - r}} = \sin \theta  = \frac{{TQ}}{{2r}} \Leftrightarrow TQ = \frac{{2{r^2}}}{{R - r}},r = \frac{{R\sin \theta }}{{1 + \sin \theta }} και \displaystyle ON = R\cos \theta

\displaystyle \frac{{TQ}}{{ON}} = \frac{{OT}}{{OB}} \Leftrightarrow \frac{{2{r^2}}}{{(R - r)\cos \theta }} = R - \sqrt {{R^2} - 2Rr} και αντικαθιστώντας \displaystyle r = \frac{{R\sin \theta }}{{1 + \sin \theta }}, προκύπτει η εξίσωση:

\displaystyle \frac{{1 - \sin \theta }}{{\cos \theta }} = \frac{{\cos \theta (1 + \sin \theta ) - 2{{\sin }^2}\theta }}{{\cos \theta (1 + \sin \theta )}} \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow \boxed{{\sin ^3}\theta  + {\sin ^2}\theta  + \sin \theta  - 1 = 0} Με τη βοήθεια λογισμικού

βρίσκω: \displaystyle \sin \theta  = \frac{1}{3}\left( {\sqrt[3]{{17 + 3\sqrt {33} }} - \frac{2}{{\sqrt[3]{{17 + 3\sqrt {33} }}}} - 1} \right) \simeq 0,543689 και \boxed{2\theta\simeq 65,870239^\circ}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης