Συντομότερη απόσταση

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
pito
Δημοσιεύσεις: 1738
Εγγραφή: Τρί Μάιος 18, 2010 10:41 pm
Τοποθεσία: mathematica

Συντομότερη απόσταση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pito » Τετ Οκτ 10, 2018 12:42 pm

Σε ένα τηλεοπτικό παιχνίδι ο παίκτης που συμμετέχει πρέπει να τρέξει , από την αρχική θέση του A, σε ένα μακρύ τραπέζι CD γεμάτο με γλυκά.Το τραπέζι έχει μήκος 13 μέτρα και βρίσκεται σε απόσταση 5 μέτρων από το A. Αφού πάρει ένα γλυκό από το τραπέζι, ο παίκτης πρέπει να τρέξει προς το συμπαίκτη του , που βρίσκεται σε απόσταση 8 μέτρων από το τραπέζι , στη θέση B και να του δώσει ένα κομμάτι από το γλυκό.Ποια είναι η συντομότερη απόσταση, στην οποία μπορεί να πραγματοποιήσει αυτή τη διαδικασία;


1. Δεν διδάσκουμε με αυτό που λέμε και κάνουμε. Διδάσκουμε με αυτό που είμαστε.
2. Ο μέτριος δάσκαλος περιγράφει. Ο καλός δάσκαλος εξηγεί. Ο σωστός δάσκαλος αποδεικνύει. Ο σπουδαίος δάσκαλος εμπνέει. ( Γουίλιαμ Γουάρντ)

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4155
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Συντομότερη απόσταση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Τετ Οκτ 10, 2018 1:10 pm

Καλημέρα σε όλους. Δεν είμαι βέβαιος αν κατάλαβα καλά την εκφώνηση, επειδή η απάντησή μου στο γλυκό αυτό πρόβλημα μού φαίνεται αρκετά προφανής.

Στο σχήμα, η ελάχιστη διαδρομή AM-MB είναι 13 m όταν το A είναι στο εσωτερικό του καθέτου τμήματος BM προς την μία πλευρά του ορθογωνίου τραπεζιού.

edit: Το μήκος του τραπεζιού δεν βλέπω που χρησιμοποιείται. Εννοείται ότι το τμήμα BM μπορεί να έχει άκρο μία από τις 4 γωνίες M του τραπεζιού, δίχως να έχουμε καθετότητα προς τις πλευρές του.
Συνημμένα
10-10-2018 Διασκεδαστικά Μαθηματικά.png
10-10-2018 Διασκεδαστικά Μαθηματικά.png (26.39 KiB) Προβλήθηκε 248 φορές


rek
Δημοσιεύσεις: 112
Εγγραφή: Σάβ Σεπ 03, 2011 10:15 pm

Re: Συντομότερη απόσταση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek » Πέμ Οκτ 11, 2018 11:56 am

pito έγραψε:
Τετ Οκτ 10, 2018 12:42 pm
Σε ένα τηλεοπτικό παιχνίδι ο παίκτης που συμμετέχει πρέπει να τρέξει , από την αρχική θέση του A, σε ένα μακρύ τραπέζι CD γεμάτο με γλυκά.Το τραπέζι έχει μήκος 13 μέτρα και βρίσκεται σε απόσταση 5 μέτρων από το A. Αφού πάρει ένα γλυκό από το τραπέζι, ο παίκτης πρέπει να τρέξει προς το συμπαίκτη του , που βρίσκεται σε απόσταση 8 μέτρων από το τραπέζι , στη θέση B και να του δώσει ένα κομμάτι από το γλυκό.Ποια είναι η συντομότερη απόσταση, στην οποία μπορεί να πραγματοποιήσει αυτή τη διαδικασία;
Στα διασκεδαστικά Μαθηματικά είμαστε:
Λοιπόν, τροποποιούμε λίγο, αλλά κατάλληλα, το πρόβλημα και στο σημείο Α αφήνουμε ένα ... μουλάρι! Θα βρει όχι μόνο τον ταχύτερο, αλλά και τον ασφαλέστερο δρόμο!! (Ρωτήστε π.χ την ΔΕΗ ) :first: :winner_second_h4h: :winner_third_h4h:


ἀκούων ὅρα...
kkala
Δημοσιεύσεις: 22
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 30, 2014 6:12 pm

Re: Συντομότερη απόσταση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kkala » Παρ Οκτ 12, 2018 2:28 am

Κατά μία άλλη ερμηνεία η ζητούμενη λύση είναι η συντομότερη δυνατή διαδρομή, όταν οι θέσεις Α, Β παραμένουν σταθερές (δεχόμαστε ότι είναι προς το ίδιο μέρος του τραπεζιού) και το Μ διατρέχει το τμήμα CD (βλ. Σχήμα Α). Ο Ν. Δ. Νικολάου στο Συμπλήρωμα Γεωμετρίας του, κεφ. “Συμμετρία”, δίνει λύση στο πρόβλημα αυτό, εκφρασμένο βέβαια σε καθαρά γεωμετρική γλώσσα.
Έστω Α'' το συμμετρικό του Α ως προς την CD, οπότε ΑΜΒ = ΑΜ + ΜΒ = Α''Μ + ΜΒ = Α''ΜΒ. Το τελευταίο ελαχιστοποιείται όταν καταστεί ευθύγραμμο τμήμα με άκρα τα Α'' και Β. Τότε το Μ συμπίπτει με την τομή Μ' της CD με το Α''Β (Σχήμα Α).
Τυχόν ζητούμενα μήκη μπορούν να υπολογιστούν από τα όμοια τρίγωνα Α'ΑΜ' και Β'ΒΜ'. Χρειάζεται επιπλέον και το μήκος (Α'Β'), όπου Α', Β' οι προβολές των Α, Β στη CD αντίστοιχα.

Σημειώνεται ότι η χρήση του συμμετρικού Β'' ως προς CD αντί του Α'' δίνει την ίδια ελάχιστη διαδρομή. Εάν η τομή ΑΒ'' με CD είναι το Μ'', τα όμοια τρίγωνα Β''Β'Μ'' και Α'ΑΜ'' υποδεικνύουν Β'Μ''/Α'Μ'' = Β'Β''/Α'Α, ενώ από τα προηγούμενα όμοια τρίγωνα Β'Μ'/Α'Μ'=Β'Β/Α'Α . Άρα Β'Μ''/Α'Μ'' =Β'Μ'/Α'Μ'. Τα Μ', Μ'' είναι εσωτερικά του τμήματος Α'Β' και το χωρίζουν στον ίδιο λόγο, άρα συμπίπτουν.
Μια (πιό σύνθετη) αλγεβρική μέθοδος θα απαιτούσε ελαχιστοποίηση της y = (x^{2}+5^{2})^{0.5} + ((l-x)^{2}+8^{2})^{0.5}
όπου x = (A'M) σε μέτρα, l = (A'B') = μήκος Α'Β' σε μέτρα. Εαν l = 13, το y γίνεται ελάχιστο για x = 5 (μηδενισμός 1ης παραγώγου, κλπ), ενώ τούτο προκύπτει και από τα παραπάνω όμοια τρίγωνα (με Α''Μ'Β ευθεία).
minroute.png
minroute.png (46.08 KiB) Προβλήθηκε 149 φορές
Σημείωση: Επισυνάπτεται και το minroute.odt, που είναι ίδιο με το παραπάνω μύνημα, αλλά με χρώματα στα γράμματα σχημάτων του κειμένου. Ισως αυτό βοηθήσει την ανάγνωση.
Συνημμένα
minroute.odt
αγνοείστε το, αν τα παραπάνω διαβάζονται ευχερώς
(71.82 KiB) Μεταφορτώθηκε 4 φορές


kkala
Δημοσιεύσεις: 22
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 30, 2014 6:12 pm

Re: Συντομότερη απόσταση

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kkala » Παρ Οκτ 12, 2018 2:32 pm

Ο rek έγραψε (11/10/18)
Στα διασκεδαστικά Μαθηματικά είμαστε:
Λοιπόν, τροποποιούμε λίγο, αλλά κατάλληλα, το πρόβλημα και στο σημείο Α αφήνουμε ένα ... μουλάρι! Θα βρει όχι μόνο τον ταχύτερο, αλλά και τον ασφαλέστερο δρόμο!! (Ρωτήστε π.χ την ΔΕΗ )
Οπως διάβασα σε εφημερίδα πριν λίγα χρόνια, η μέθοδος αυτή χρησίμευε (υποθέτω όχι αποκλειστικά) στο παρελθόν για προκαταρκτική χάραξη (όδευση) δρόμων σε λόφους και βουνά. Άφηναν ελεύθερο στους πρόποδες ένα γάϊδαρο (ή μουλάρι) , έχοντας δέσει στην ουρά του ένα δοχείο γεμάτο μπογιά, που έσταζε και έδειχνε το ίχνος του μελλοντικού δρόμου. Λέγεται ότι το ζώο ανέβαινε το ύψωμα ακολουθώντας από ένστικτο περίπου την πρακτικότερη διαδρομή, δηλαδή την συντομότερη αλλά και πλέον 'αριστοποιημένη' ως προς την κλίση εδάφους
Οσον αφορά την περίπτωση που εξετάζουμε, εκτιμάται ότι το ζώο θα πλησιάσει το τραπέζι, αλλά θα μείνει εκεί ψάχνοντας και για άλλα φαγώσιμα! Μάλλον και το μουλάρι (ή ο γάϊδαρος) της ιστορίας θα διέκοπτε τη διαδρομή του στο βουνό, αν τύχαινε να συναντήσει εκλεκτή τροφή.

Διόρθωση 15/10/18: rek, όχι pito (στην αρχή).
τελευταία επεξεργασία από kkala σε Δευ Οκτ 15, 2018 11:25 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4155
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Συντομότερη απόσταση

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Παρ Οκτ 12, 2018 9:27 pm

Καλησπέρα σε όλους. Αρχικά να πω ότι χαίρομαι που έμαθα κι άλλα για την συμβολή του προβλήματος του Ήρωνα στην ηλεκτροδότηση της πατρίδας μας, όπως υπαινίχθηκε ο Κώστας Ρεκούμης και επεξήγησε ο kkala. :clap2:

Πράγματι δεν είχα καταλάβει καλά την εκφώνηση, διότι προσπάθησα να προσαρμόσω το μαθηματικό περιεχόμενο του προβλήματος σε ρεαλιστικά δεδομένα.

Θεώρησα δεδομένο ότι οι παίκτες κινούνται ελεύθερα περιμετρικά του τραπεζιού, σε μια σημαδεμένη γραμμή 8 και 5 μέτρων περιμετρικά του τραπεζιού, ώστε να λάβουν την κατάλληλη θέση, που είναι αυτή που περιέγραψα παραπάνω: Κινούμαι κάθετα 5 μέτρα και επιστρέφω επίσης κάθετα 8 μέτρα, με βάση την ευθεία διαδρομή που προκύπτει από την μελέτη του προβλήματος του Ήρωνα.

Απέρριψα την περίπτωση που περιγράφει ο kkala στην παραπάνω ανάρτηση, σκεπτόμενος ότι αν μεν οι δύο παίκτες είναι στην ίδια μεριά του τραπεζιού έχει καλώς. Εφαρμόζουμε μια από τις μεθόδους επίλυσης του προβλήματος του Ήρωνα για τις συγκεκριμένες αποστάσεις και υπολογίζουμε την ελάχιστη απόσταση.

10-10-2018 Διασκεδαστικά Μαθηματικά 1.png
10-10-2018 Διασκεδαστικά Μαθηματικά 1.png (19.92 KiB) Προβλήθηκε 95 φορές

Αν όμως ο ένας παίκτης τοποθετηθεί στην απέναντι μεριά του τραπεζιού και, εφόσον το τραπέζι δεν είναι διαμπερές, ούτε είναι πρέπον να πάρεις σβάρνα τα γλυκά υπερπηδώντας το, τότε το πρόβλημα δυσκολεύει και παύει να είναι διασκεδαστικό, αφού θα πρέπει να μελετηθούν πολλές περιπτώσεις (αν δεν κάνω λάθος).

Αναζήτησα τη διατύπωση του Νικολάου στο Συμπλήρωμα Γεωμετρίας (έκδοση 1938) και δεν το εντόπισα.
Θα χαιρόμουν αν δινόταν περισσότερες βιβλιογραφικές αναφορές, καθώς και η προέλευση του προβλήματος από την Μυρτώ.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης