Συντομότερη απόσταση

[pito]

Σε ένα τηλεοπτικό παιχνίδι ο παίκτης που συμμετέχει πρέπει να τρέξει , από την αρχική θέση του , σε ένα μακρύ τραπέζι γεμάτο με γλυκά.Το τραπέζι έχει μήκος μέτρα και βρίσκεται σε απόσταση μέτρων από το . Αφού πάρει ένα γλυκό από το τραπέζι, ο παίκτης πρέπει να τρέξει προς το συμπαίκτη του , που βρίσκεται σε απόσταση μέτρων από το τραπέζι , στη θέση και να του δώσει ένα κομμάτι από το γλυκό.Ποια είναι η συντομότερη απόσταση, στην οποία μπορεί να πραγματοποιήσει αυτή τη διαδικασία;

[Γιώργος Ρίζος]

Καλημέρα σε όλους. Δεν είμαι βέβαιος αν κατάλαβα καλά την εκφώνηση, επειδή η απάντησή μου στο γλυκό αυτό πρόβλημα μού φαίνεται αρκετά προφανής.

Στο σχήμα, η ελάχιστη διαδρομή είναι όταν το είναι στο εσωτερικό του καθέτου τμήματος προς την μία πλευρά του ορθογωνίου τραπεζιού.

edit: Το μήκος του τραπεζιού δεν βλέπω που χρησιμοποιείται. Εννοείται ότι το τμήμα μπορεί να έχει άκρο μία από τις γωνίες του τραπεζιού, δίχως να έχουμε καθετότητα προς τις πλευρές του.

[rek2]

Σε ένα τηλεοπτικό παιχνίδι ο παίκτης που συμμετέχει πρέπει να τρέξει , από την αρχική θέση του , σε ένα μακρύ τραπέζι γεμάτο με γλυκά.Το τραπέζι έχει μήκος μέτρα και βρίσκεται σε απόσταση μέτρων από το . Αφού πάρει ένα γλυκό από το τραπέζι, ο παίκτης πρέπει να τρέξει προς το συμπαίκτη του , που βρίσκεται σε απόσταση μέτρων από το τραπέζι , στη θέση και να του δώσει ένα κομμάτι από το γλυκό.Ποια είναι η συντομότερη απόσταση, στην οποία μπορεί να πραγματοποιήσει αυτή τη διαδικασία;

Στα διασκεδαστικά Μαθηματικά είμαστε:
Λοιπόν, τροποποιούμε λίγο, αλλά κατάλληλα, το πρόβλημα και στο σημείο Α αφήνουμε ένα ... μουλάρι! Θα βρει όχι μόνο τον ταχύτερο, αλλά και τον ασφαλέστερο δρόμο!! (Ρωτήστε π.χ την ΔΕΗ )

[kkala]

Κατά μία άλλη ερμηνεία η ζητούμενη λύση είναι η συντομότερη δυνατή διαδρομή, όταν οι θέσεις Α, Β παραμένουν σταθερές (δεχόμαστε ότι είναι προς το ίδιο μέρος του τραπεζιού) και το Μ διατρέχει το τμήμα CD (βλ. Σχήμα Α). Ο Ν. Δ. Νικολάου στο Συμπλήρωμα Γεωμετρίας του, κεφ. “Συμμετρία”, δίνει λύση στο πρόβλημα αυτό, εκφρασμένο βέβαια σε καθαρά γεωμετρική γλώσσα. (*)
Έστω Α'' το συμμετρικό του Α ως προς την CD, οπότε ΑΜΒ = ΑΜ + ΜΒ = Α''Μ + ΜΒ = Α''ΜΒ. Το τελευταίο ελαχιστοποιείται όταν καταστεί ευθύγραμμο τμήμα με άκρα τα Α'' και Β. Τότε το Μ συμπίπτει με την τομή Μ' της CD με το Α''Β (Σχήμα Α).
Τυχόν ζητούμενα μήκη μπορούν να υπολογιστούν από τα όμοια τρίγωνα Α'ΑΜ' και Β'ΒΜ'. Χρειάζεται επιπλέον και το μήκος (Α'Β'), όπου Α', Β' οι προβολές των Α, Β στη CD αντίστοιχα.
Σημειώνεται ότι η χρήση του συμμετρικού Β'' ως προς CD αντί του Α'' δίνει την ίδια ελάχιστη διαδρομή. Εάν η τομή ΑΒ'' με CD είναι το Μ'', τα όμοια τρίγωνα Β''Β'Μ'' και Α'ΑΜ'' υποδεικνύουν Β'Μ''/Α'Μ'' = Β'Β''/Α'Α, ενώ από τα προηγούμενα όμοια τρίγωνα Β'Μ'/Α'Μ'=Β'Β/Α'Α . Άρα Β'Μ''/Α'Μ'' =Β'Μ'/Α'Μ'. Τα Μ', Μ'' είναι εσωτερικά του τμήματος Α'Β' και το χωρίζουν στον ίδιο λόγο, άρα συμπίπτουν.
Μια (πιό σύνθετη) αλγεβρική μέθοδος θα απαιτούσε ελαχιστοποίηση της
όπου x = (A'M) σε μέτρα, l = (A'B') = μήκος Α'Β' σε μέτρα. Εαν l = 13, το y γίνεται ελάχιστο για x = 5 (μηδενισμός 1ης παραγώγου, κλπ), ενώ τούτο προκύπτει και από τα παραπάνω όμοια τρίγωνα (με Α''Μ'Β ευθεία).

minroute.png (46.08 KiB) Προβλήθηκε 1016 φορές

(*) 14/12/18: Δεν υπάρχει η λύση της άσκησης στη Β' έκδοση του Συμπληρώματος Γεωμετρίας Ν Δ Νικολάου, βλέπε Σημείωμα Νο 7 παρακάτω. Παραπλήσιες βέβαια ασκήσεις με τις λύσεις τους (συμμετρία προς άξονα) υπάρχουν.
Σημείωση: Επισυνάπτεται και το minroute.odt, που είναι ίδιο με το παραπάνω μύνημα, αλλά με χρώματα στα γράμματα σχημάτων του κειμένου. Ισως αυτό βοηθήσει την ανάγνωση.

[kkala]

Ο rek έγραψε (11/10/18)

Στα διασκεδαστικά Μαθηματικά είμαστε:
Λοιπόν, τροποποιούμε λίγο, αλλά κατάλληλα, το πρόβλημα και στο σημείο Α αφήνουμε ένα ... μουλάρι! Θα βρει όχι μόνο τον ταχύτερο, αλλά και τον ασφαλέστερο δρόμο!! (Ρωτήστε π.χ την ΔΕΗ )

Οπως διάβασα σε εφημερίδα πριν λίγα χρόνια, η μέθοδος αυτή χρησίμευε (υποθέτω όχι αποκλειστικά) στο παρελθόν για προκαταρκτική χάραξη (όδευση) δρόμων σε λόφους και βουνά. Άφηναν ελεύθερο στους πρόποδες ένα γάϊδαρο (ή μουλάρι) , έχοντας δέσει στην ουρά του ένα δοχείο γεμάτο μπογιά, που έσταζε και έδειχνε το ίχνος του μελλοντικού δρόμου. Λέγεται ότι το ζώο ανέβαινε το ύψωμα ακολουθώντας από ένστικτο περίπου την πρακτικότερη διαδρομή, δηλαδή την συντομότερη αλλά και πλέον 'αριστοποιημένη' ως προς την κλίση εδάφους
Οσον αφορά την περίπτωση που εξετάζουμε, εκτιμάται ότι το ζώο θα πλησιάσει το τραπέζι, αλλά θα μείνει εκεί ψάχνοντας και για άλλα φαγώσιμα! Μάλλον και το μουλάρι (ή ο γάϊδαρος) της ιστορίας θα διέκοπτε τη διαδρομή του στο βουνό, αν τύχαινε να συναντήσει εκλεκτή τροφή.

Διόρθωση 15/10/18: rek, όχι pito (στην αρχή).

[Γιώργος Ρίζος]

Καλησπέρα σε όλους. Αρχικά να πω ότι χαίρομαι που έμαθα κι άλλα για την συμβολή του προβλήματος του Ήρωνα στην ηλεκτροδότηση της πατρίδας μας, όπως υπαινίχθηκε ο Κώστας Ρεκούμης και επεξήγησε ο kkala.

Πράγματι δεν είχα καταλάβει καλά την εκφώνηση, διότι προσπάθησα να προσαρμόσω το μαθηματικό περιεχόμενο του προβλήματος σε ρεαλιστικά δεδομένα.

Θεώρησα δεδομένο ότι οι παίκτες κινούνται ελεύθερα περιμετρικά του τραπεζιού, σε μια σημαδεμένη γραμμή και μέτρων περιμετρικά του τραπεζιού, ώστε να λάβουν την κατάλληλη θέση, που είναι αυτή που περιέγραψα παραπάνω: Κινούμαι κάθετα μέτρα και επιστρέφω επίσης κάθετα μέτρα, με βάση την ευθεία διαδρομή που προκύπτει από την μελέτη του προβλήματος του Ήρωνα.

Απέρριψα την περίπτωση που περιγράφει ο kkala στην παραπάνω ανάρτηση, σκεπτόμενος ότι αν μεν οι δύο παίκτες είναι στην ίδια μεριά του τραπεζιού έχει καλώς. Εφαρμόζουμε μια από τις μεθόδους επίλυσης του προβλήματος του Ήρωνα για τις συγκεκριμένες αποστάσεις και υπολογίζουμε την ελάχιστη απόσταση.

10-10-2018 Διασκεδαστικά Μαθηματικά 1.png (19.92 KiB) Προβλήθηκε 962 φορές

Αν όμως ο ένας παίκτης τοποθετηθεί στην απέναντι μεριά του τραπεζιού και, εφόσον το τραπέζι δεν είναι διαμπερές, ούτε είναι πρέπον να πάρεις σβάρνα τα γλυκά υπερπηδώντας το, τότε το πρόβλημα δυσκολεύει και παύει να είναι διασκεδαστικό, αφού θα πρέπει να μελετηθούν πολλές περιπτώσεις (αν δεν κάνω λάθος).

Αναζήτησα τη διατύπωση του Νικολάου στο Συμπλήρωμα Γεωμετρίας (έκδοση 1938) και δεν το εντόπισα.
Θα χαιρόμουν αν δινόταν περισσότερες βιβλιογραφικές αναφορές, καθώς και η προέλευση του προβλήματος από την Μυρτώ.

[kkala]

1. Παραπάνω έχουμε δύο διαφορετικές και σε αποτέλεσμα λύσεις (σημείωμα 2 και 4), πράγμα που οφείλεται σε διαφορετικές ερμηνείες των δεδομένων.
(α) Παραδοχή Γ. Ρίζου, όπως την κατεννόησα: τα Α, Β μπορούν να κινούνται σε απόσταση 5 m και 8 m (αντίστοιχα) περιμετρικά του τραπεζιού, ζητείται να καθοριστεί η θέση των Α, Β, Μ, ώστε να ελαχιστοποιηθεί η διαδρομή ΑΜΒ (Μ τυχόν σημείο του τραπεζιού CD). Αρχικά τρείς μεταβλητές. Αυτές συγχωνεύονται σε μία θεωρώντας ότι τα Α, Μ, Β πρέπει να κείνται επ' ευθείας καθέτου προς το CD, ώστε να ελαχιστοποιηθεί η ΑΜΒ (5+8=13 m για κάθε θέση του Μ).
(β) Παραδοχή kkala: Τα Α, Β είναι σταθερά κατά θέση, ζητείται να ελαχιστοποιηθεί η διαδρομή ΑΜΒ. Μία μεταβλητή. Επιπλέον τα Α, Β βρίσκονται προς το ίδιο μέρος της CD.
Στην πραγματικότητα το τελευταίο συμβαίνει αναγκαστικά και στην (α) κατά τη διεργασία της ελαχιστοποίησης, διότι τότε η ΑΜΒ είναι μικρότερη παρά όταν τα “κινούμενα” Α, Β κείνται “εκατέρωθεν” της CD.
Κρίνεται ότι ουδεμία από τις παραδοχές (α), (β) αποκλείεται από την εκφώνηση, άρα και οι δύο οδηγούν σε αποδεκτά αποτελέσματα. Προσωπικά η (β) μου φαίνεται πιό “φυσιολογική”, γνώριζα 'ομως την λύση της από πριν. Δύσκολα μιλάμε αντικειμενικά σε θέματα ερμηνείας.
2.Έψαξα το “Συμπλήρωμα Γεωμετρίας” Ν. Δ. Νικολάου (β' έκδοση, 1938) και δεν βρήκα την άσκηση ελαχίστου δρόμου που αναφέρω στο σημείωμα Νο 4. Ζητώ συγνώμη για την αβλεψία. Είχα βασισθεί σε χειρόγραφη παλιά σημείωσή μου σε βιβλίο γεωμετρίας, που δεν αναγράφει άλλα στοιχεία. Ίσως υπάρχει σε άλλη έκδοση του Συμπληρώματος Γεωμετρίας του (μέγεθος μικρότερο του Α4), ή έχει γίνει στο μυαλό μου μπέρδεμα με παρόμοια άσκηση μέσα στο πέρασμα των χρόνων.
3. Η Άρτεμις Καμούδη διατυπώνει το πρόβλημα του Ήρωνα και το λύνει με διαφόρους τρόπους στη “διπλωματική” της εργασία (Προβλήματα Μεγίστου και Ελαχίστου στο πρόγραμμα σπουδών των μαθηματικών του Λυκείου, Παν. Αθηνών & Κύπρου, Οκτ 2008, Κεφ 3, σελ 47 κ.ε, <http://www.math.uoa.gr/me/dipl/dipl_kamoudi.artemis.pdf>). Το πρόβλημα αυτούσιο δεν βρέθηκε σε βιβλία Γεωμετρίας που ψάχθηκαν, παρόμοιο όμως (κάπως συνθετότερο) αναφέρει ο Δ. Γ. Καντζιός στο “Ασκήσεις και προβλήματα Γεωμετρίας G. Lemaire” 1961, ασκηση 250 και 251– σελ 157 και 158, καθώς και ο Π. Τόγκας (Θεωρητική Γεωμετρία 22α έκδοση), άσκηση 840 (941)– σελ 295. Τα παραπάνω λύνονται χρησιμοποιώντας συμμετρία προς άξονα. Επίσης ο Ν Δ Νικολάου στη σχολική “Θεωρητική Γεωμετρία του” (1960, σελ 143, παρ 168) καθορίζει το Μ επί της CD ώστε γων ΑΜD = γων ΒΜC, πράγμα που ισοδυναμεί με ΑΜΒ=ελάχιστο (τα γράμματα αλλάχθηκαν ώστε να συμφωνούν με τα χρησιμοποιημένα στο παρόν).
Σε άλλο ιστότοπο (Takis Sarafoglou, Kimatika, Κεφ 3.3 Αρχή των Ήρωνος – Fermat, εντοπίζεται με google, σελ 3.3.2) το πρόβλημα του Ήρωνα (ΑΜΒ=ελάχιστο) αποδεικνύεται βασισμένο στην παραπάνω ισότητα γωνιών (προσπτώσεως και ανακλάσεως, όπως θα τις λέγαμε στη Φυσική). Εν τούτοις ο Thomas Heath στο κλασσικό “ A Manual of Greek Mathematics” (Oxford, 1931, Κεφ XV, σελ 433) αναφέρει ότι ο ¨Ηρωνας στα Κατοπτρικά δέχτηκε την αρχή της ελάχιστης διαδρομής του φωτός και με βάση αυτό απέδειξε την ισότητα γωνιών. Επομένως η αυθεντική λύση του Ήρωνα πρέπει να είναι παρόμοια με τον “1ο τρόπο” λύσης της Αρτ. Καμούδη (ως ανωτέρω, σελ 47).
4. Η περίπτωση που τα Α, Β κείνται “εκατέρωθεν” του τραπεζιού είναι βέβαια πιό περίπλοκη, ίσως όμως όχι τόσο ώστε να μη μπορεί να εξετασθεί σε μία άλλη "διασκεδαστική" συνεδρία. Μόνο μια τέτοια εξέταση μπορεί να καταδείξει τη δυσκολία.

[Γιώργος Ρίζος]

Επομένως η αυθεντική λύση του Ήρωνα πρέπει να είναι παρόμοια με τον “1ο τρόπο” λύσης της Αρτ. Καμούδη (ως ανωτέρω, σελ 47).

Ευχαριστώντας τον kkala(*) για τις βιβλιογραφικές αναφορές, ας συμπληρώσω με μερικές σελίδες από το παράρτημα του βιβλίου "Οδός μαθηματικής σκέψης", που αναφέρονται ακριβώς σε αυτό το σημείο.

Με την ευκαιρία, να ευχηθώ στους συντελεστές της αυριανής εκδήλωσης στο Καλαμαρί, καλή επιτυχία!


(*) Όντας μη εξοικειωμένος με nick names θα προτιμούσα την οικειότητα των αληθινών ονομάτων στους διαλόγους μας.