Η τρίτη κάθετη

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9888
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Η τρίτη κάθετη

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Οκτ 10, 2018 7:57 pm

Η  τρίτη  κάθετη.png
Η τρίτη κάθετη.png (12.32 KiB) Προβλήθηκε 76 φορές
Τα τρίγωνα ASA' , BSB' είναι όμοια (\hat{S_{1}}=\hat{S_{2}}) . Τα AB'

και A'B τέμνονται στο σημείο T . Δείξτε ότι : TS \perp AB .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4087
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Η τρίτη κάθετη

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Τετ Οκτ 10, 2018 9:13 pm

Καλησπέρα σε όλους. Περιμένοντας τις αμιγώς γεωμετρικές λύσεις, δίνω μια "διασκεδαστική" λύση κινούμενος ανάποδα. Εντοπίζω το σημείο τομής T και κατόπιν αποδεικνύω ότι το S ταυτίζεται με το ίχνος του T στην ΑΒ.


Η  τρίτη  κάθετη.png
Η τρίτη κάθετη.png (12.32 KiB) Προβλήθηκε 65 φορές

Έστω  \displaystyle A\left( {0,0} \right),\;B\left( {a,0} \right),\;B'\left( {a,\;k} \right),\;A'\left( {0,\;m} \right) με a, k, m >0.

Τότε  \displaystyle AB':\;\;\;y = \frac{k}{a}x,\;\;\;A'B:\;\; - \frac{m}{a}x + m .

Τέμνονται στο  \displaystyle T\left( {\frac{{am}}{{k + m}},\;\frac{{km}}{{k + m}}} \right) .


To αξιοσημείωτο είναι ότι το ύψος του σημείου T είναι ανεξάρτητο της απόστασης των A, B.(*)


Αν L η προβολή του T στην AB, τότε  \displaystyle \varepsilon \varphi {\rm A}LA' = \frac{m}{{\frac{{am}}{{k + m}}}} = \frac{{k + m}}{a},\;\;\;\varepsilon \varphi BLB' = \frac{k}{{a - \frac{{am}}{{k + m}}}} = \frac{{k + m}}{a} ,
άρα οι γωνίες είναι ίσες.

Αν  \displaystyle AS < AL τότε  \displaystyle {\widehat S_1} > \widehat {ALA'},\;\;{\widehat S_2} < \widehat {BLB'} άτοπον. Ομοίως αν  \displaystyle AS > AL , άρα το S ταυτίζεται με το L.

(*) Πρόκειται για ένα εξαιρετικά ενδιαφέρον θέμα για μελέτη στο σχολείο. Στην "Οδό Μαθηματικής Σκέψης" αφιερώσαμε αρκετές σελίδες στη μελέτη του όμορφου αυτού απρόσμενου φαινομένου.
Εδώ δίνω μια απλή ΑναλυτικοΓεωμετρική προσέγγιση ( χούι είναι αυτό...). Οι γεωμετρικές προσεγγίσεις είναι πολύ πιο ενδιαφέρουσες.

Επίσης πολύ ενδιαφέρουσα είναι η αναφορά του M. Gardner στο Mathematical Circus. Penguin Books. New York, 1981 (σ. 62)


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5909
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Η τρίτη κάθετη

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Οκτ 10, 2018 10:35 pm

η τρίτη κάθετη.png
η τρίτη κάθετη.png (18.26 KiB) Προβλήθηκε 50 φορές

Τα T\,\,\kappa \alpha \iota \,\,S είναι μέσα στη ζώνη των παραλλήλων AA'\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,BB'.

Επειδή \dfrac{{A'T}}{{TB}} = \dfrac{a}{b} = \dfrac{{AS}}{{SB}} \Rightarrow TS//AA' \Rightarrow TS \bot AB


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες