Ευθυγράμμιση

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9977
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ευθυγράμμιση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Οκτ 14, 2018 7:24 pm

Ευθυγράμμιση.png
Ευθυγράμμιση.png (14.88 KiB) Προβλήθηκε 57 φορές
Ο εξωτερικός στίβος έχει ημικυκλικό σχήμα ακτίνας :  5 Km , ενώ ο εσωτερικός : 3 Km .

Δύο αθλητές ξεκινούν ταυτόχρονα με την ίδια ταχύτητα από τα A,C και κάποια στιγμή

βρίσκονται στις θέσεις S και P . α) Δείξτε ότι το SP δεν είναι παράλληλο προς την AB .

β) Βρείτε , με όποιον τρόπο θέλετε , την "φάση" που τα S,P,B καθίστανται συνευθειακά .

Προσεγγιστικές λύσεις γίνονται δεκτές μόνον αν το ευρεθέν αποτέλεσμα είναι εντυπωσιακό :lol:



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4124
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Ευθυγράμμιση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Κυρ Οκτ 14, 2018 8:13 pm

Με το σχήμα του Θανάση.

Ευθυγράμμιση.png
Ευθυγράμμιση.png (14.88 KiB) Προβλήθηκε 45 φορές

Είναι  \displaystyle \mathop {AS}\limits^ \cap   = \mathop {CP}\limits^ \cap   \Leftrightarrow \widehat {AOS} = \frac{3}{5}\widehat {AOP}

Για να είναι παράλληλο το SP στην AB πρέπει  \displaystyle \widehat {AOP} = 90^\circ .

Τότε  \displaystyle \eta \mu \left( {AOS} \right) = \frac{{{\rm O}P}}{{OS}} = \frac{3}{5} , όμως  \displaystyle \widehat {AOP} = 90^\circ  \Rightarrow \widehat {AOS} = 54^\circ , και αφού  \displaystyle \eta \mu 54^\circ  > \frac{3}{5} δεν μπορεί η SP να είναι παράλληλη στην AB.

Έστω S, P, B συνευθειακά. Έστω  \displaystyle \widehat {\rm B} = \varphi , με  \displaystyle 0^\circ  < \varphi  < 90^\circ .

Τότε  \displaystyle \widehat {AOS} = 2\varphi , οπότε  \displaystyle \widehat {AOP} = \frac{{10\varphi }}{3} , οπότε  \displaystyle \widehat {POB} = 180^\circ  - \frac{{10\varphi }}{3} \Rightarrow \widehat {BPO} = \frac{{7\varphi }}{3} .

Από Ν. Ημιτόνων στο POB  \displaystyle \frac{{{\rm O}{\rm B}}}{{\eta \mu \left( {BPO} \right)}} = \frac{{OP}}{{\eta \mu {\rm B}}} \Leftrightarrow \eta \mu \frac{{7\varphi }}{3} = \frac{5}{3}\eta \mu \varphi .


Προσεγγιστικά είναι  \displaystyle \varphi  = 0,6414450 ακτίνια, οπότε το μήκος των τόξων είναι \ell  = 2R \cdot \varphi  = 6,414450.

KARKAR έγραψε:
Κυρ Οκτ 14, 2018 7:24 pm
Προσεγγιστικές λύσεις γίνονται δεκτές μόνον αν το ευρεθέν αποτέλεσμα είναι εντυπωσιακό :lol:

Παρατηρώ ότι  \displaystyle 6414450 = 149 \cdot 41 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 2 , που είναι άκρως εντυπωσιακό ως γινόμενο επτά πρώτων αριθμών!

Εντάξει! Δεν το παρατήρησα μόνος μου. Το γκουγκλάρησα. https://numbermatics.com/n/6414450/

edit: Είχα γράψει ημφ = ... αντί για φ = .... Την υπόδειξη-διόρθωση έκανε ο Θανάσης.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης