Άστοχο βέλος

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9983
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Άστοχο βέλος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Οκτ 17, 2018 8:26 pm

Άστοχο  βέλος.png
Άστοχο βέλος.png (7.11 KiB) Προβλήθηκε 142 φορές
Στο ημικύκλιο του σχήματος , ζητούμενο είναι το μήκος του "περίπου βέλους" ST



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10430
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Άστοχο βέλος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Οκτ 17, 2018 8:46 pm

Το S απέχει από το μέσον της χορδής CD απόσταση 7/2-2=3/2. Αρα αν S' η προβολή του S στην διάμετρο AB, τότε το S' απέχει από το κέντρο του O κύκλου απόσταση (πάλι) 3/2. Από Πυθαγόρειο στο OTS' είναι TS' = \sqrt {55}/2. Αλλά αφού (πάλι από Πυθαγόρειο) η απόσταση SS' της χορδής CD από την διάμετρο AB είναι \sqrt {15}/2 , είναι ST=S'T-S'S= (\sqrt {55}-\sqrt {15})/2.


Άβαταρ μέλους
nickchalkida
Δημοσιεύσεις: 41
Εγγραφή: Τρί Ιουν 03, 2014 11:59 am
Επικοινωνία:

Re: Άστοχο βέλος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nickchalkida » Πέμ Οκτ 18, 2018 11:06 am

Εναλλακτικά, επειδή x \cdot y = 2 \cdot 5 και x^2 + y^2 + 5^2 + 3^2 = 8^2
για να βρούμε τα x, y επιλύουμε το σύστημα
\displaystyle{ 
\begin{aligned} 
& x^2 + y^2 = 35 \\ 
& x \cdot y = 10 \\ 
\end{aligned} 
}
που μας δίνει x=(\sqrt{55}-\sqrt{15})/2, y=(\sqrt{55}+\sqrt{15})/2.
Συνημμένα
velos.png
velos.png (218.03 KiB) Προβλήθηκε 85 φορές


Μη είναι βασιλικήν ατραπόν επί την γεωμετρίαν.
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4125
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Άστοχο βέλος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Πέμ Οκτ 18, 2018 1:07 pm

Καλημέρα σε όλους. Επίσης, εναλλακτικά,

Άστοχο  βέλος.png
Άστοχο βέλος.png (7.11 KiB) Προβλήθηκε 70 φορές

Έστω O(0,0) το μέσο του AB, οπότε το ημικύκλιο έχει εξίσωση x^2+y^2=16,y\geq 0.

Οπότε, λόγω συμμετρίας,  \displaystyle C\left ( -\frac{7}{2},a \right ), D\left ( \frac{7}{2},a \right ), a>0.

Aφού είναι σημεία του κύκλου, είναι  \displaystyle \left ( -\frac{7}{2} \right )^2+a^2=16\Leftrightarrow a=\frac{\sqrt{15}}{2}.

Eπίσης,  \displaystyle S\left ( \frac{3}{2},\frac{\sqrt{15}}{2} \right ).

Η κάθετη  \displaystyle x=\frac{3}{2} τέμνει το ημικύκλιο στο  \displaystyle  T\left ( \frac{3}{2},\frac{\sqrt{55}}{2} \right ) , οπότε  \displaystyle  \left (ST  \right )=\frac{\sqrt{55}-\sqrt{15}}{2} .


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες