Άθροισμα συντεταγμένων

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9977
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Άθροισμα συντεταγμένων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Οκτ 18, 2018 10:30 am

Άθροισμα  συντεταγμένων.png
Άθροισμα συντεταγμένων.png (8.24 KiB) Προβλήθηκε 105 φορές
Βρείτε το σημείο S του κύκλου με εξίσωση : (x-3)^2+(y-1)^2=9 ,

του οποίου οι συντεταγμένες έχουν το μεγαλύτερο δυνατό άθροισμα .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7186
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Άθροισμα συντεταγμένων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Οκτ 18, 2018 10:55 am

KARKAR έγραψε:
Πέμ Οκτ 18, 2018 10:30 am
Άθροισμα συντεταγμένων.pngΒρείτε το σημείο S του κύκλου με εξίσωση : (x-3)^2+(y-1)^2=9 ,

του οποίου οι συντεταγμένες έχουν το μεγαλύτερο δυνατό άθροισμα .

Το μέγιστο είναι \displaystyle 4 + 3\sqrt 2 και το ζητούμενο σημείο \displaystyle S\left( {3 + \frac{{3\sqrt 2 }}{2},1 + \frac{{3\sqrt 2 }}{2}} \right)
Η λύση το απογευματάκι αν δεν απαντηθεί.

Επεξεργασία: Άρση απόκρυψης.
τελευταία επεξεργασία από george visvikis σε Πέμ Οκτ 18, 2018 1:42 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Altrian
Δημοσιεύσεις: 59
Εγγραφή: Τρί Μάιος 01, 2018 4:51 pm
Τοποθεσία: Βούλα, Αττική

Re: Άθροισμα συντεταγμένων

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Altrian » Πέμ Οκτ 18, 2018 12:44 pm

Καλημέρα,
Μια γεωμετρική λύση.
Εστω S τυχαίο σημείο του κύκλου. Από αυτό φέρνουμε την SP υπό γωνία 45 ως προς τον άξονα Ox (και Oy). x+y=OP το οποίο μεγιστοποιείται όταν η SP κινούμενη παράλληλα βρεθεί στην μέγιστη απομάκρυνση από το κέντρο K δηλαδή στο Smax.
Ευκολα τότε προκύπτει το μέγιστο (3+\frac{3\sqrt{2}}{2},1+\frac{3\sqrt{2}}{2})

Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
Συνημμένα
coord_sum.png
coord_sum.png (23.72 KiB) Προβλήθηκε 82 φορές


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5953
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Άθροισμα συντεταγμένων

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Οκτ 18, 2018 1:14 pm

Έστω S(x,y) το ζητούμενο σημείο με x + y = p η έκφραση : x + y - p = 0 παριστάνει ευθεία παράλληλη στη διχοτόμου 2ου και 4ου τεταρτημορίου ( y =  - x)

που το p θα πάρει μεγίστη τιμή αν εφάπτεται στον κύκλο και τέμνει του θετικούς ημιάξονες :


Πρέπει επομένως \boxed{\frac{{|3 + 1 - p|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }}} = 3 \Rightarrow p = 4 + 3\sqrt 2 το δε S ορίζεται ως η τομή των ευθειών :

Μέγιστο άθροισμα συντεταγμένων.png
Μέγιστο άθροισμα συντεταγμένων.png (22.22 KiB) Προβλήθηκε 69 φορές
\left\{ \begin{gathered} 
  x + y = 4 + 3\sqrt 2  \hfill \\ 
  y - 1 = x - 3 \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  y + x = 4 + 3\sqrt 2  \hfill \\ 
  y - x =  - 2 \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  2y = 2 + 3\sqrt 2  \hfill \\ 
  2x = 6 + 3\sqrt 2  \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  x = 3 + \frac{{3\sqrt 2 }}{2} \hfill \\ 
  y = 1 + \frac{{3\sqrt 2 }}{2} \hfill \\  
\end{gathered}  \right..


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4124
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Άθροισμα συντεταγμένων

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Πέμ Οκτ 18, 2018 1:41 pm

Kαλησπέρα σε όλους. Θα επιχειρήσω μια προσέγγιση με τα εργαλεία των παλαιών αλγεβριστών.


Έστω a = x-3, b=y-1. Τότε a^2+b^2=9.

Αφού οι θετικοί αριθμοί a^2, b^2 έχουν σταθερό άθροισμα το μέγιστο του γινομένου ab προκύπτει όταν
 \displaystyle a=b=\frac{3\sqrt{2}}{2}. Πράγματι, είναι  \displaystyle a^2+b^2\geq 2ab\Rightarrow 9 \geq 2ab \Leftrightarrow \frac{9}{2}\geq ab.

Τότε  \displaystyle |a+b|=\sqrt{9+2ab}, με τη μέγιστη τιμή του όταν  \displaystyle  x=\frac{3\sqrt{2}}{2}+3,  y=\frac{3\sqrt{2}}{2}+1.

Eίναι max(a+b) \leq max(|a+b|), οπότε για αυτές τις τιμές έχουμε και το μέγιστο του a+b.


Άβαταρ μέλους
nickchalkida
Δημοσιεύσεις: 41
Εγγραφή: Τρί Ιουν 03, 2014 11:59 am
Επικοινωνία:

Re: Άθροισμα συντεταγμένων

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nickchalkida » Πέμ Οκτ 18, 2018 1:54 pm

Θεωρώ το σύστημα συντεταγμένων με κέντρο το K. Προφανώς (???) το OA+OB μεγιστοποιείται
όταν το KN+KM μεγιστοποιείται. Επειδή KN^2 + KM^2 = c το γινόμενο KN^2 \cdot KM^2 αλλά και το KN \cdot KM
μεγιστοποιείται όταν KN^2 = KM^2, δηλαδή όταν KM=KN.
Τότε όμως και το KN+KM μεγιστοποιείται διότι
\displaystyle{ 
(KM + KN)^2 = KM^2 + KN^2 + 2 \cdot KM \cdot KN 
}
Θά είναι λοιπόν
\displaystyle{ 
KM = KN = KS \cos{45} = \frac{3\sqrt{2}}{2} 
}
Συνημμένα
coord01.png
coord01.png (249.1 KiB) Προβλήθηκε 52 φορές


Μη είναι βασιλικήν ατραπόν επί την γεωμετρίαν.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης