Άθροισμα συντεταγμένων

KARKAR · #1

: Άθροισμα συντεταγμένων.png (8.24 KiB) Προβλήθηκε 712 φορές

Βρείτε το σημείο

του κύκλου με εξίσωση : (x-3)^2+(y-1)^2=9

,

του οποίου οι συντεταγμένες έχουν το μεγαλύτερο δυνατό άθροισμα .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 18, 2018 10:30 am
Άθροισμα συντεταγμένων.pngΒρείτε το σημείο του κύκλου με εξίσωση : ,

του οποίου οι συντεταγμένες έχουν το μεγαλύτερο δυνατό άθροισμα .

Το μέγιστο είναι $\displaystyle 4 + 3\sqrt 2$ και το ζητούμενο σημείο $\displaystyle S\left( {3 + \frac{{3\sqrt 2 }}{2},1 + \frac{{3\sqrt 2 }}{2}} \right)$
Η λύση το απογευματάκι αν δεν απαντηθεί.

Επεξεργασία: Άρση απόκρυψης.

Altrian · #3

Καλημέρα,
Μια γεωμετρική λύση.
Εστω

τυχαίο σημείο του κύκλου. Από αυτό φέρνουμε την

υπό γωνία

ως προς τον άξονα

(και

).

το οποίο μεγιστοποιείται όταν η

κινούμενη παράλληλα βρεθεί στην μέγιστη απομάκρυνση από το κέντρο

δηλαδή στο Smax

.
Ευκολα τότε προκύπτει το μέγιστο $(3+\frac{3\sqrt{2}}{2},1+\frac{3\sqrt{2}}{2})$

Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης

#4

Έστω

το ζητούμενο σημείο με x + y = p

η έκφραση : x + y - p = 0

παριστάνει ευθεία παράλληλη στη διχοτόμου 2ου και 4ου τεταρτημορίου ( y = - x

)

που το

θα πάρει μεγίστη τιμή αν εφάπτεται στον κύκλο και τέμνει του θετικούς ημιάξονες :

Πρέπει επομένως $\boxed{\frac{{|3 + 1 - p|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }}} = 3 \Rightarrow p = 4 + 3\sqrt 2$ το δε

ορίζεται ως η τομή των ευθειών :

: Μέγιστο άθροισμα συντεταγμένων.png (22.22 KiB) Προβλήθηκε 676 φορές

$\left\{ \begin{gathered} x + y = 4 + 3\sqrt 2 \hfill \\ y - 1 = x - 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} y + x = 4 + 3\sqrt 2 \hfill \\ y - x = - 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 2y = 2 + 3\sqrt 2 \hfill \\ 2x = 6 + 3\sqrt 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 3 + \frac{{3\sqrt 2 }}{2} \hfill \\ y = 1 + \frac{{3\sqrt 2 }}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ .

#5

Kαλησπέρα σε όλους. Θα επιχειρήσω μια προσέγγιση με τα εργαλεία των παλαιών αλγεβριστών.

Έστω a = x-3, b=y-1

. Τότε

.

Αφού οι θετικοί αριθμοί a^2, b^2

έχουν σταθερό άθροισμα το μέγιστο του γινομένου

προκύπτει όταν
$\displaystyle a=b=\frac{3\sqrt{2}}{2}$ . Πράγματι, είναι $\displaystyle a^2+b^2\geq 2ab\Rightarrow 9 \geq 2ab \Leftrightarrow \frac{9}{2}\geq ab$ .

Τότε $\displaystyle |a+b|=\sqrt{9+2ab}$ , με τη μέγιστη τιμή του όταν $\displaystyle x=\frac{3\sqrt{2}}{2}+3, y=\frac{3\sqrt{2}}{2}+1$ .

Eίναι $max(a+b) \leq max(|a+b|)$ , οπότε για αυτές τις τιμές έχουμε και το μέγιστο του a+b

.

nickchalkida · #6

Θεωρώ το σύστημα συντεταγμένων με κέντρο το

. Προφανώς (???) το OA+OB

μεγιστοποιείται
όταν το KN+KM

μεγιστοποιείται. Επειδή KN^2 + KM^2 = c

το γινόμενο $KN^2 \cdot KM^2$ αλλά και το $KN \cdot KM$
μεγιστοποιείται όταν KN^2 = KM^2

, δηλαδή όταν KM=KN

.
Τότε όμως και το KN+KM

μεγιστοποιείται διότι
$\displaystyle{ (KM + KN)^2 = KM^2 + KN^2 + 2 \cdot KM \cdot KN }$
Θά είναι λοιπόν
$\displaystyle{ KM = KN = KS \cos{45} = \frac{3\sqrt{2}}{2} }$

Άθροισμα συντεταγμένων

Άθροισμα συντεταγμένων

Re: Άθροισμα συντεταγμένων

Re: Άθροισμα συντεταγμένων

Re: Άθροισμα συντεταγμένων

Re: Άθροισμα συντεταγμένων

Re: Άθροισμα συντεταγμένων

Μέλη σε σύνδεση