Ίσο και κάθετο

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9983
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ίσο και κάθετο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Οκτ 20, 2018 11:40 am

Ίσο  και  κάθετο.png
Ίσο και κάθετο.png (5.87 KiB) Προβλήθηκε 149 φορές
Γλέντι και σήμερα :lol: . Στο εσωτερικό γωνίας \widehat{xOy} , βρίσκεται σημείο S . Θέλουμε να

χαράξουμε μία διαδρομή , η οποία ξεκινώντας από το S ,να επισκέπτεται πρώτα την Ox

και στη συνέχεια να κατευθύνεται κάθετα προς την Oy αλλά έτσι ώστε : PS=PT .

Αν δεν πετύχετε λύση για τη γενική περίπτωση , κάντε το , αν η Ox είναι ο θετικός

ημιάξονας του καρτεσιανού επιπέδου , η Oy συμπίπτει με την y=x και S(7,4) .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5955
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ίσο και κάθετο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Οκτ 20, 2018 12:10 pm

ισα και κάθετα.png
ισα και κάθετα.png (20.26 KiB) Προβλήθηκε 144 φορές

Δύο λύσεις εν γένει


Έχω και λύση χωρίς παραβολή ( Απλή και κλασσική ) Ήταν θέμα του μαθηματικού τμήματος πάλαι ποτέ .

Αν δεν γραφτεί θα τη γράψω


Altrian
Δημοσιεύσεις: 60
Εγγραφή: Τρί Μάιος 01, 2018 4:51 pm
Τοποθεσία: Βούλα, Αττική

Re: Ίσο και κάθετο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Altrian » Πέμ Οκτ 25, 2018 3:06 pm

Καλησπέρα,
Μια προσπάθεια για επίλυση της γενικής περίπτωσης χωρίς την χρήση παραβολής.
Εστω A, S' τα συμμετρικά του S ως προς τις δοθείσες ευθείες Ox, Oy αντίστοιχα. Το ζητούμενο σημείο T καθώς και τα S,A θα ανήκουν στον κύκλο c_{1} ο οποίος έχει κέντρο το επίσης ζητούμενο P και εφάπτεται της Oy. Εστω επίσης F η τομή των SA,Oy.
\angle S'TA=\angle S'TS+\angle STA=\angle FTS+\angle FTS+\angle STA=\angle FTS+\angle TAS+\angle STA=\angle FTA+\angle TAF
Αρα \angle S'TA=180-\angle \phi δηλ. σταθερή με βάση τα δεδομένα του προβλήματος.
Επομένως αναζητούμε κύκλο (c) (πράσινο) που διέρχεται από τα δεδομένα σημεία A,S' και φαίνεται από τα σημεία του υπό σταθερή γωνία 180-\angle \phi.
Η κατασκευή του γίνεται φέροντας την κάθετο από το A στην S'A και εντοπίζοντας σημείο E επ' αυτής με \angle S'EA=\angle \phi.
Η τομές του κύκλου c με την Oy είναι τα δύο ζητούμενα σημεία T,T'

Δεν γνωρίζω αν αυτή είναι η άλλη λύση που έχει κατά νού ο Doloros.

Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
Συνημμένα
iso_katheto.png
iso_katheto.png (50.11 KiB) Προβλήθηκε 89 φορές


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5955
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ίσο και κάθετο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Οκτ 25, 2018 6:35 pm

Ανάλυση :

Αν G το σταθερό συμμετρικό του S ως προς την Ox , επειδή PT = PS = PG , αρκεί να γράψω κύκλο που να διέρχεται από τα σταθερά σημεία

S\,\,\kappa \alpha \iota \,\,G και να εφάπτεται της Oy (1ο Απολλώνιο πρόβλημα ) Μια κατασκευή γ’ αυτό είναι η παρακάτω:
ισα και κάθετα_κλασσικά_1.png
ισα και κάθετα_κλασσικά_1.png (25.32 KiB) Προβλήθηκε 58 φορές

Κατασκευή :

Γράφω τυχαίο κύκλο που διέρχεται από τα S,G( π.χ. το κύκλο διαμέτρου SG) . Αν η GS τέμνει την Oy στο M , φέρνω εφαπτόμενο τμήμα MH σ αυτό τον κύκλο .

Γράφω το κύκλο (M,MH) που τέμνει την Oy στα T\,\,\kappa \alpha \iota \,\,T' . Τα κέντρα P\,\,\kappa \alpha \iota \,\,P' των κύκλων (T,S,G)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(T',S,G) είναι τα ζητούμενα σημεία .

Απόδειξη :

Επειδή M{H^2} = MS \cdot MG \Rightarrow \boxed{T{M^2} = T'{M^2} = MS \cdot MG} που μας εξασφαλίζει την επαφή των προαναφερθέντων κύκλων με την Oy.

Σε όλα τα λογισμικά ( Geogebra,Cabri, Dynageo, SKetchpad κ.λ.π.) μπορούμε να κάνουμε μακροεντολές που τέτοια κλασσικά προβλήματα Γεωμετρίας να επιλύονται άμεσα.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης