Ασυνάρτητος λόγος

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9983
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ασυνάρτητος λόγος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Οκτ 21, 2018 2:32 pm

Ασυνάρτητος  λόγος.png
Ασυνάρτητος λόγος.png (9.85 KiB) Προβλήθηκε 194 φορές
Στη βάση BC=8 του ισοσκελούς ( AB=AC=5 ) τριγώνου \displaystyle ABC κινείται σημείο S .

Η ημιευθεία AS τέμνει το τόξο \overset{\frown}{BC} , του κύκλου (A,AB) , στο σημείο T .

Πότε ο λόγος \dfrac{BT}{BS} γίνεται ίσος με 1 και πότε μεγιστοποιείται ; Επιτρέπονται τα ... πάντα :lol:



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4125
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Ασυνάρτητος λόγος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Δευ Οκτ 22, 2018 1:03 pm

Καλημέρα σε όλους. Μια απάντηση από το σχολείο στο πρώτο ερώτημα.


22-10-2018 Γεωμετρία.png
22-10-2018 Γεωμετρία.png (26.25 KiB) Προβλήθηκε 141 φορές


O λόγος  \displaystyle \frac{BT}{BS} γίνεται ίσος με 1 όταν BT = BS.

Τότε τα τρίγωνα ABT, BST είναι όμοια ισοσκελή, άρα είναι  \displaystyle  \widehat{BAT}=\widehat{SBT} άρα το τόξο BT είναι το μισό του CT.

Η συνέχεια σε εύλογο χρόνο, εκτός αν πάρει σειρά ο ταχύτερος.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7193
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ασυνάρτητος λόγος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Οκτ 22, 2018 1:12 pm

KARKAR έγραψε:
Κυρ Οκτ 21, 2018 2:32 pm
Ασυνάρτητος λόγος.pngΣτη βάση BC=8 του ισοσκελούς ( AB=AC=5 ) τριγώνου \displaystyle ABC κινείται σημείο S .

Η ημιευθεία AS τέμνει το τόξο \overset{\frown}{BC} , του κύκλου (A,AB) , στο σημείο T .

Πότε ο λόγος \dfrac{BT}{BS} γίνεται ίσος με 1 και πότε μεγιστοποιείται ; Επιτρέπονται τα ... πάντα :lol:
Καλημέρα!
Ασυνάρτητος λόγος.png
Ασυνάρτητος λόγος.png (15.25 KiB) Προβλήθηκε 141 φορές
Στο δεύτερο ερώτημα θέλω να καταγγείλω τον KARKAR (γνωστό και ως αλεπού :lol: ) γιατί για πολλές ώρες με άφησε να πιστεύω ότι

BT=6 και ο μέγιστος λόγος είναι 1,17. Τελικά με \displaystyle ST = 5 - \sqrt {{x^2} + 9} και λόγο ημιτόνων και συνημιτόνων στο BST,

κατέληξα να αναζητώ τη μέγιστη τιμή της απλής συνάρτησης \displaystyle f(x) = \dfrac{3}{{\sqrt {{x^2} + 9} \sqrt {\dfrac{{5\sqrt {{x^2} + 9}  - 4x + 9}}{{10\sqrt {{x^2} + 9} }}} }}, όπου με τη βοήθεια

λογισμικού βρήκα \boxed{{\left( {\frac{{BT}}{{BS}}} \right)_{\max }} = \frac{1}{5}\sqrt {19 - 63\sqrt[3]{3} + 51\sqrt[3]{9}}  \simeq 1,17000089} για \boxed{x = \frac{{3\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{9}}}{2}}

Τώρα μόλις είδα ότι ο Γιώργος απάντησε στο α) ερώτημα. Ίσως έχει ευκολότερη λύση για το β) (γιατί εμένα με ταλαιπώρησε πολύ να φτάσω στον τελικό τύπο της συνάρτησης).


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7193
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ασυνάρτητος λόγος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Οκτ 23, 2018 4:38 pm

Για το α), αν M, N είναι τα μέσα των BT, BC αντίστοιχα και BT=BS=x, τα τρίγωνα AMT, ANS είναι όμοια.
Ασυνάρτητος λόγος.α.png
Ασυνάρτητος λόγος.α.png (14.92 KiB) Προβλήθηκε 88 φορές
\displaystyle \frac{{2SN}}{x} = \frac{{AN}}{{AM}} \Leftrightarrow \frac{{2(4 - x)}}{x} = \frac{6}{{\sqrt {100 - {x^2}} }} \Leftrightarrow 3x = (4 - x)\sqrt {100 - {x^2}}

Από την τελευταία αυτή εξίσωση βρίσκω προσεγγιστικά, \boxed{x\simeq 3,042}


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4125
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Ασυνάρτητος λόγος

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Τρί Οκτ 23, 2018 9:14 pm

Καλησπέρα σε όλους. Προσπάθησα να απλοποιήσω τη συνάρτηση που δίνει το μέγιστο, χρησιμοποιώντας τις "απαγορευμένες" πια στα σχολεία μας Πολικές Συντεταγμένες. Κι όμως στο τέλος αναγκάστηκα να χρησιμοποιήσω λογισμικό (σχήμα στο Geogebra), το οποίο επισυνάπτω. Αφού βρίσκω ίδιο αποτέλεσμα με τον Γιώργο, αποφαίνομαι, με μεγάλη βεβαιότητα ότι είναι σωστό.


22-10-2018 Γεωμετρία a.png
22-10-2018 Γεωμετρία a.png (52.13 KiB) Προβλήθηκε 63 φορές

Έστω A(0,0), B(-4,3), C(4,3). Έστω  \displaystyle T\left( {5\sigma \upsilon \nu \varphi ,\;5\eta \mu \varphi } \right),\;\;\varphi  = \widehat {{\rm T}{\rm A}x},\;0^\circ  < \varphi  < 180^\circ .

Αν  \displaystyle AT \bot x'x , τότε  \displaystyle \frac{{BT}}{{BS}} = \frac{{\sqrt 5 }}{2} \cong 1,118 .

Αν η AT δεν είναι κάθετη στον οριζόντιο άξονα, τότε  \displaystyle AT:\;\;y = \varepsilon \varphi \varphi  \cdot x και τέμνει την BC: y = 3 στο  \displaystyle S\left( {3\sigma \varphi \varphi ,\;3} \right) .

Οπότε  \displaystyle \frac{{BT}}{{BS}} = \frac{{\sqrt {{{\left( {5\sigma \upsilon \nu \varphi  + 4} \right)}^2} + {{\left( {5\eta \mu \varphi  - 3} \right)}^2}} }}{{3\sigma \varphi \varphi  + 4}} = \frac{{\sqrt {10\left( {5 + 4\sigma \upsilon \nu \varphi  - 3\eta \mu \varphi } \right)}  \cdot \eta \mu \varphi }}{{4\eta \mu \varphi  + 3\sigma \upsilon \nu \varphi }}

Το μέγιστο που δίνει το λογισμικό είναι 1.1700008897. Για του λόγου το αληθές ελέγξτε το συνημμένο αρχείο παρακάτω.
Συνημμένα
22-10-2018 Γεωμετρία b.ggb
(23.94 KiB) Μεταφορτώθηκε 5 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης