Ασυνάρτητος λόγος

KARKAR · #1

: Ασυνάρτητος λόγος.png (9.85 KiB) Προβλήθηκε 604 φορές

Στη βάση

του ισοσκελούς ( AB=AC=5

) τριγώνου $\displaystyle ABC$ κινείται σημείο

.

Η ημιευθεία

τέμνει το τόξο $\overset{\frown}{BC}$ , του κύκλου (A,AB)

, στο σημείο

.

Πότε ο λόγος $\dfrac{BT}{BS}$ γίνεται ίσος με

και πότε μεγιστοποιείται ; Επιτρέπονται τα ... πάντα

#2

Καλημέρα σε όλους. Μια απάντηση από το σχολείο στο πρώτο ερώτημα.

: 22-10-2018 Γεωμετρία.png (26.25 KiB) Προβλήθηκε 551 φορές

O λόγος $\displaystyle \frac{BT}{BS}$ γίνεται ίσος με

όταν

.

Τότε τα τρίγωνα ABT, BST

είναι όμοια ισοσκελή, άρα είναι $\displaystyle \widehat{BAT}=\widehat{SBT}$ άρα το τόξο

είναι το μισό του

.

Η συνέχεια σε εύλογο χρόνο, εκτός αν πάρει σειρά ο ταχύτερος.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 21, 2018 2:32 pm
Ασυνάρτητος λόγος.pngΣτη βάση του ισοσκελούς ( ) τριγώνου $\displaystyle ABC$ κινείται σημείο .

Η ημιευθεία τέμνει το τόξο $\overset{\frown}{BC}$ , του κύκλου , στο σημείο .

Πότε ο λόγος $\dfrac{BT}{BS}$ γίνεται ίσος με και πότε μεγιστοποιείται ; Επιτρέπονται τα ... πάντα

Καλημέρα!

: Ασυνάρτητος λόγος.png (15.25 KiB) Προβλήθηκε 551 φορές

Στο δεύτερο ερώτημα θέλω να καταγγείλω τον KARKAR (γνωστό και ως αλεπού ) γιατί για πολλές ώρες με άφησε να πιστεύω ότι

BT=6

και ο μέγιστος λόγος είναι 1,17.

Τελικά με $\displaystyle ST = 5 - \sqrt {{x^2} + 9}$ και λόγο ημιτόνων και συνημιτόνων στο BST,

κατέληξα να αναζητώ τη μέγιστη τιμή της απλής συνάρτησης $\displaystyle f(x) = \dfrac{3}{{\sqrt {{x^2} + 9} \sqrt {\dfrac{{5\sqrt {{x^2} + 9} - 4x + 9}}{{10\sqrt {{x^2} + 9} }}} }},$ όπου με τη βοήθεια

λογισμικού βρήκα $\boxed{{\left( {\frac{{BT}}{{BS}}} \right)_{\max }} = \frac{1}{5}\sqrt {19 - 63\sqrt[3]{3} + 51\sqrt[3]{9}} \simeq 1,17000089}$ για $\boxed{x = \frac{{3\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{9}}}{2}}$

Τώρα μόλις είδα ότι ο Γιώργος απάντησε στο α) ερώτημα. Ίσως έχει ευκολότερη λύση για το β) (γιατί εμένα με ταλαιπώρησε πολύ να φτάσω στον τελικό τύπο της συνάρτησης).

#4

Για το α), αν M, N

είναι τα μέσα των BT, BC

αντίστοιχα και BT=BS=x,

τα τρίγωνα AMT, ANS

είναι όμοια.

: Ασυνάρτητος λόγος.α.png (14.92 KiB) Προβλήθηκε 498 φορές

$\displaystyle \frac{{2SN}}{x} = \frac{{AN}}{{AM}} \Leftrightarrow \frac{{2(4 - x)}}{x} = \frac{6}{{\sqrt {100 - {x^2}} }} \Leftrightarrow 3x = (4 - x)\sqrt {100 - {x^2}}$

Από την τελευταία αυτή εξίσωση βρίσκω προσεγγιστικά, $\boxed{x\simeq 3,042}$

#5

Καλησπέρα σε όλους. Προσπάθησα να απλοποιήσω τη συνάρτηση που δίνει το μέγιστο, χρησιμοποιώντας τις "απαγορευμένες" πια στα σχολεία μας Πολικές Συντεταγμένες. Κι όμως στο τέλος αναγκάστηκα να χρησιμοποιήσω λογισμικό (σχήμα στο Geogebra), το οποίο επισυνάπτω. Αφού βρίσκω ίδιο αποτέλεσμα με τον Γιώργο, αποφαίνομαι, με μεγάλη βεβαιότητα ότι είναι σωστό.

: 22-10-2018 Γεωμετρία a.png (52.13 KiB) Προβλήθηκε 473 φορές

Έστω

. Έστω $\displaystyle T\left( {5\sigma \upsilon \nu \varphi ,\;5\eta \mu \varphi } \right),\;\;\varphi = \widehat {{\rm T}{\rm A}x},\;0^\circ < \varphi < 180^\circ$ .

Αν $\displaystyle AT \bot x'x$ , τότε $\displaystyle \frac{{BT}}{{BS}} = \frac{{\sqrt 5 }}{2} \cong 1,118$ .

Αν η

δεν είναι κάθετη στον οριζόντιο άξονα, τότε $\displaystyle AT:\;\;y = \varepsilon \varphi \varphi \cdot x$ και τέμνει την BC: y = 3

στο $\displaystyle S\left( {3\sigma \varphi \varphi ,\;3} \right)$ .

Οπότε $\displaystyle \frac{{BT}}{{BS}} = \frac{{\sqrt {{{\left( {5\sigma \upsilon \nu \varphi + 4} \right)}^2} + {{\left( {5\eta \mu \varphi - 3} \right)}^2}} }}{{3\sigma \varphi \varphi + 4}} = \frac{{\sqrt {10\left( {5 + 4\sigma \upsilon \nu \varphi - 3\eta \mu \varphi } \right)} \cdot \eta \mu \varphi }}{{4\eta \mu \varphi + 3\sigma \upsilon \nu \varphi }}$

Το μέγιστο που δίνει το λογισμικό είναι 1.1700008897

. Για του λόγου το αληθές ελέγξτε το συνημμένο αρχείο παρακάτω.

Ασυνάρτητος λόγος

Ασυνάρτητος λόγος

Re: Ασυνάρτητος λόγος

Re: Ασυνάρτητος λόγος

Re: Ασυνάρτητος λόγος

Re: Ασυνάρτητος λόγος

Μέλη σε σύνδεση