Η προσπάθεια του Λεωνίδα

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9984
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Η προσπάθεια του Λεωνίδα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Οκτ 30, 2018 2:47 pm

Η  προσπάθεια του  Λεωνίδα.png
Η προσπάθεια του Λεωνίδα.png (15.44 KiB) Προβλήθηκε 207 φορές
Ο Λεωνίδας προσπαθεί να υπολογίσει το (ABC) . Βοηθήστε τον και ... ξαναβοηθήστε τον :lol:



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7193
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Η προσπάθεια του Λεωνίδα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Οκτ 30, 2018 4:04 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Οκτ 30, 2018 2:47 pm
Η προσπάθεια του Λεωνίδα.pngΟ Λεωνίδας προσπαθεί να υπολογίσει το (ABC) . Βοηθήστε τον και ... ξαναβοηθήστε τον :lol:
Θερμοπύλες.png
Θερμοπύλες.png (10.76 KiB) Προβλήθηκε 187 φορές
Με Π.Θ βρίσκω BD=20, CE=24 και ο Πτολεμαίος στο εγγράψιμο BEDC δίνει ED=15=DC. Άρα, στο

ορθογώνιο τρίγωνο AEC η ED είναι διάμεσος, οπότε DA=15. Επομένως, \boxed{(ABC) = \frac{{30 \cdot 20}}{2} = 300}


Να συμπληρώσω ότι AB=BC=25. Όλα αυτά βέβαια, πριν απ' τη μάχη!


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4125
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Η προσπάθεια του Λεωνίδα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Τρί Οκτ 30, 2018 7:48 pm

Kαλησπέρα σε όλους! Μια ακόμα λύση με νομιμότατη Τριγωνομετρία. Μιλάμε προφανώς για το ίδιο οικόπεδο του Λεωνίδα.


30-10-2018 Γεωμετρία.jpg
30-10-2018 Γεωμετρία.jpg (57.45 KiB) Προβλήθηκε 149 φορές

Στο BCE είναι  \displaystyle \sigma \upsilon \nu {\rm B} = \frac{7}{{25}} \Rightarrow \varepsilon \varphi \varphi  = \sqrt {\frac{1}{{\sigma \upsilon {\nu ^2}{\rm B}}} - 1}  = \frac{{24}}{7} \Leftrightarrow \sigma \varphi \varphi  = \frac{7}{{24}}

Στο BDC είναι  \displaystyle \sigma \upsilon \nu C = \frac{{15}}{{25}} \Rightarrow \varepsilon \varphi C = \sqrt {\frac{1}{{\sigma \upsilon {\nu ^2}C}} - 1}  = \frac{4}{3} \Leftrightarrow \sigma \varphi C = \frac{3}{4} .

Φέρνουμε το ύψος  \displaystyle {\rm A}{\rm M} = \upsilon στην BC.

Είναι  \displaystyle \sigma \varphi {\rm B} + \sigma \varphi C = \frac{{BM}}{\upsilon } + \frac{{MC}}{\upsilon } \Leftrightarrow \frac{7}{{24}} + \frac{3}{4} = \frac{{25}}{\upsilon } \Leftrightarrow \upsilon  = 24 .

Οπότε,  \displaystyle \left( {ABC} \right) = \frac{{25 \cdot 24}}{2} = 300 .


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5957
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Η προσπάθεια του Λεωνίδα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Οκτ 30, 2018 10:02 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Οκτ 30, 2018 2:47 pm
Η προσπάθεια του Λεωνίδα.pngΟ Λεωνίδας προσπαθεί να υπολογίσει το (ABC) . Βοηθήστε τον και ... ξαναβοηθήστε τον :lol:
Έστω AT το τρίτο ύψος και H το ορθόκεντρο του \vartriangle ABC.

\left\{ \begin{gathered} 
  BC = 25 = 5 \cdot 5 \hfill \\ 
  DC = 15 = 3 \cdot 5 \hfill \\ 
  DB = 20 = 4 \cdot 5 \hfill \\ 
  EC = \sqrt {{{25}^2} - {7^2}}  = \sqrt {(25 + 7) \cdot (25 - 7)}  = 24 \hfill \\  
\end{gathered}  \right. Άρα \vartriangle DBC \to (4u,5u,3u)\,,\,\,u > 0 και :

\vartriangle DAH \to (4k,5k,3k)\,\,,\,\,k > 0\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\vartriangle EBC \approx \vartriangle EHA \to (7t,25t,24t)\,\,\,,t > 0 .

Έτσι AH = 5k = 25t \Rightarrow \boxed{k = 5t}\,\,\,(1)
Βοήθεια στον Λεωνίδα.png
Βοήθεια στον Λεωνίδα.png (29.93 KiB) Προβλήθηκε 108 φορές
Επειδή δε AE \cdot AB = AD \cdot AC \Rightarrow 24t(24t + 7) = 4k(4k + 15) , λόγω της (1) \boxed{t = \frac{3}{4} \Rightarrow k = \frac{{15}}{4} \Rightarrow AD = 15} .

Δηλαδή το \vartriangle ABC είναι ισοσκελές με κορυφή το B και \boxed{(ABC) = 15 \cdot 20 = 300}


Εδώ ( δείτε την πιο πάνω λύση) η Τριγωνομετρία ( Γυμνασιακή) νικά κατά κράτος τη Γεωμετρία της Β Λυκείου .


Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 865
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Η προσπάθεια του Λεωνίδα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Τετ Οκτ 31, 2018 2:23 am

Καλημέρα στους φίλους ! Αρκεί το ύψος BD να είναι και διχοτόμος, η συνέχεια γνωστή. Με χρήση του σχήματος:
31-8 Λεωνίδας.PNG
31-8 Λεωνίδας.PNG (10.02 KiB) Προβλήθηκε 73 φορές
Με HZ \perp BC τα ορθ. τρίγωνα BHZ, BDC είναι όμοια άρα HZ=\dfrac{3}{4}x , το ίδιο και τα CHZ ,BEC οπότε HZ=\dfrac{7}{24}\left ( 25-x \right ).

Προκύπτει BZ=x=7=BE και συνεπώς τα ορθ BHZ,BEH είναι ίσα δηλ BHD διχοτόμος..Φιλικά , Γιώργος.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης