Δικαιολογήστε τα αδικαιολόγητα

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9977
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Δικαιολογήστε τα αδικαιολόγητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Νοέμ 01, 2018 2:39 pm

Δικαιολογήστε τα αδικαιολόγητα.png
Δικαιολογήστε τα αδικαιολόγητα.png (12.39 KiB) Προβλήθηκε 112 φορές
Στο τρίγωνο \displaystyle ABC η AD είναι διχοτόμος και η διάμεσος AM είναι επίσης διχοτόμος της \widehat{DAC} .

Το τρίγωνο SBN έχει πλευρές : SB=8,SN=10 ,BN=12 . Δικαιολογήστε γιατί :

α) Είναι \widehat{BAD}=\widehat{SNB} και β) Τα B,A,S,T είναι ομοκυκλικά ( T η τομή των AC,SN )



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7186
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Δικαιολογήστε τα αδικαιολόγητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Νοέμ 01, 2018 5:44 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Νοέμ 01, 2018 2:39 pm
Δικαιολογήστε τα αδικαιολόγητα.png Στο τρίγωνο \displaystyle ABC η AD είναι διχοτόμος και η διάμεσος AM είναι επίσης διχοτόμος της \widehat{DAC} .

Το τρίγωνο SBN έχει πλευρές : SB=8,SN=10 ,BN=12 . Δικαιολογήστε γιατί :

α) Είναι \widehat{BAD}=\widehat{SNB} και β) Τα B,A,S,T είναι ομοκυκλικά ( T η τομή των AC,SN )
Δικαιολογήστε...png
Δικαιολογήστε...png (21.83 KiB) Προβλήθηκε 89 φορές
α) Με νόμο συνημιτόνων στο SBN, \boxed{\cos \varphi  = \frac{3}{4}} και από θ. διχοτόμων στο ABC: \displaystyle \frac{c}{b} = \frac{2}{5},\frac{{AD}}{b} = \frac{3}{7} \Rightarrow \displaystyle{AD = \frac{{15c}}{{14}}}

Αλλά, \displaystyle A{D^2} = bc - 40 \Rightarrow \frac{{225{c^2}}}{{196}} = \frac{{5{c^2}}}{2} - 40 \Leftrightarrow \boxed{c^2 = \frac{{1568}}{{53}}} και με ν. συνημιτόνων στο ABD, \boxed{cos \theta  = \frac{3}{4}}

και το ζητούμενο έπεται.

β) \displaystyle 144 = 64 + 80 \Leftrightarrow B{N^2} = S{B^2} + SB \cdot SN \Leftrightarrow \omega  = 2\varphi  = 2\theta  = B\widehat AT που αποδεικνύει το ζητούμενο.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5953
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Δικαιολογήστε τα αδικαιολόγητα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Νοέμ 01, 2018 8:38 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Νοέμ 01, 2018 2:39 pm
Δικαιολογήστε τα αδικαιολόγητα.png Στο τρίγωνο \displaystyle ABC η AD είναι διχοτόμος και η διάμεσος AM είναι επίσης διχοτόμος της \widehat{DAC} .

Το τρίγωνο SBN έχει πλευρές : SB=8,SN=10 ,BN=12 . Δικαιολογήστε γιατί :

α) Είναι \widehat{BAD}=\widehat{SNB} και β) Τα B,A,S,T είναι ομοκυκλικά ( T η τομή των AC,SN )

Φέρνω από το B κάθετη στη διχοτόμο AD που την τέμνει στο P και την AC στο L. Προφανώς AB = AL\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BP = PL

Επειδή (Θ. διχοτόμου) \boxed{\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{DB}}{{DC}} = \frac{4}{{10}} = \frac{2}{5}} αν AB = 2k,\,\,k > 0 θα είναι AL = 2k\,\,\kappa \alpha \iota \,\,LC = 3k .

Στο τρίγωνο BLC τα P,M είναι μέσα των πλευρών και άρα 2PM// = LC = 3k.

Όμως \left\{ \begin{gathered} 
  \widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}} \hfill \\ 
  \widehat {{a_2}} = \widehat {{a_3}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right.

Γιατί η AM είναι διχοτόμος του \vartriangle ADC και PM//AC, συνεπώς \widehat {{a_1}} = \widehat {{a_3}} \Leftrightarrow \boxed{PA = PM = \frac{{3k}}{2}}
Τα αδικαιολόγητα να τα δικαιολογίσεις.png
Τα αδικαιολόγητα να τα δικαιολογίσεις.png (38.07 KiB) Προβλήθηκε 44 φορές
Μετά απ’ αυτά : \boxed{\cos \theta  = \frac{{AP}}{{AB}} = \frac{3}{4}}

Αλλά αφού ( Θ. συνημίτονου ή επέκτασης του Π. Θ. στο \vartriangle SBN) \boxed{\cos \omega  = \frac{3}{4}}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,\theta ,\,\,\omega οξείες

( η \omega αν ήταν αμβλεία ή ορθή θα είχε απέναντι τη μεγαλύτερη πλευρά) θα είναι \boxed{\theta  = \omega } .

Το άλλο ερώτημα σαν το Γιώργο.


Αλλιώς:

\left\{ \begin{gathered} 
  \cos S = \frac{{100 + 64 - 144}}{{160}} = \frac{1}{8} \hfill \\ 
  \cos 2\theta  = 2{\cos ^2}\theta  - 1 = \frac{{18}}{{16}} - 1 = \frac{1}{8} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. κ. λ. π


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης