Φρικτή υποψία

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11364
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Φρικτή υποψία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Νοέμ 10, 2018 8:08 pm

Φρικτή  υποψία.png
Φρικτή υποψία.png (12.3 KiB) Προβλήθηκε 388 φορές
Σημείο S κινείται σε ημικύκλιο διαμέτρου AB . Το ημικύκλιο διαμέτρου AS τέμνει την AB

στο σημείο T . Το μέσο M του AS είναι φυσικά το κέντρο του μικρού ημικυκλίου .

Μας ενδιαφέρει η μεγιστοποίηση του εμβαδού του πράσινου κυκλικού τμήματος . Έχω την φρικτή

υποψία , ότι αυτό συμβαίνει όταν αυτό ισούται με το εμβαδόν του τριγώνου MST !



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8959
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Φρικτή υποψία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Νοέμ 11, 2018 11:16 am

KARKAR έγραψε:
Σάβ Νοέμ 10, 2018 8:08 pm
Φρικτή υποψία.pngΣημείο S κινείται σε ημικύκλιο διαμέτρου AB . Το ημικύκλιο διαμέτρου AS τέμνει την AB

στο σημείο T . Το μέσο M του AS είναι φυσικά το κέντρο του μικρού ημικυκλίου .

Μας ενδιαφέρει η μεγιστοποίηση του εμβαδού του πράσινου κυκλικού τμήματος . Έχω την φρικτή

υποψία , ότι αυτό συμβαίνει όταν αυτό ισούται με το εμβαδόν του τριγώνου MST !
Φρικτή υποψία.png
Φρικτή υποψία.png (15.12 KiB) Προβλήθηκε 320 φορές
Νομίζω ότι έχεις δίκιο Θανάση! :clap2: Το μέγιστο επιτυγχάνεται όταν \displaystyle \sin 2\theta  = \theta  \Rightarrow \theta  \simeq 54,3019^\circ.

Ωστόσο, θέλω πρώτα να το ελέγξω πριν γράψω τη λύση.


Επεξεργασία: Άρση απόκρυψης. Όπως βλέπω η λύση δόθηκε παρακάτω.
τελευταία επεξεργασία από george visvikis σε Κυρ Νοέμ 11, 2018 1:40 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Μπουμπουλής Κώστας
Δημοσιεύσεις: 56
Εγγραφή: Τρί Απρ 26, 2011 1:58 am

Re: Φρικτή υποψία

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπουμπουλής Κώστας » Κυρ Νοέμ 11, 2018 1:25 pm

Έστω \angle SAT=\theta (rad) και AM=MS=MT=x. Τότε το εμβαδόν του τριγώνου  MST είναι \displaystyle{\left ( MST \right )=\frac{1}{2}x^{2}sin2\theta } , το εμβαδόν του κυκλικού τομέα είναι E_{T}=x^{^{2}}\theta και το ζητούμενο εμβαδόν είναι \displaystyle{E=x^{2}\theta -\frac{1}{2}x^{2}sin2\theta }.
Από το ορθογώνιο τρίγωνο ASB έχουμε \displaystyle{cos\theta =\frac{2x}{2R}\Leftrightarrow x=Rcos\theta  } οπότε το ζητούμενο εμβαδόν γίνεται
\displaystyle{E\left ( \theta  \right )=R^{2}cos^{2}\theta \left ( \theta -\frac{1}{2}sin2\theta  \right )}. Είναι {E}'\left ( \theta  \right )=R^{2}sin2\theta \left ( sin2\theta -\theta  \right ) που μηδενίζεται όταν sin2\theta =\theta
Η δεύτερή παράγωγος είναι \displaystyle{{E}''\left ( \theta  \right )=2R^{2}cos2\theta \left ( sin2\theta-\theta )+R^{2}sin2\theta \left ( cos2\theta -1 \right )} που είναι αρνητική όταν sin2\theta =\theta . Άρα το μέγιστο εμβαδόν επιτυγχάνεται όταν sin2\theta =\theta που εύκολα διαπιστώνουμε ότι τότε ισχύει \displaystyle{\left ( MST \right )=E=\frac{1}{2}x^{2}\theta =\frac{1}{2}\theta R^{2}cos\theta } και η φρικτή υποψία επαληθεύθηκε...


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης