Λοιπές διαμετρικές δυνάμεις

KARKAR · #1

: Λοιπές διαμετρικές δυνάμεις.png (5.94 KiB) Προβλήθηκε 602 φορές

Το σημείο

είναι το μέσο του ημικυκλίου . Υπολογίστε την υπόλοιπη διάμετρο .

Να είσθε βέβαιοι , ότι θα υπάρξει και διαφορετική λύση από αυτήν που θα δώσετε !

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 11, 2018 1:13 pm
Λοιπές διαμετρικές δυνάμεις.pngΤο σημείο είναι το μέσο του ημικυκλίου . Υπολογίστε την υπόλοιπη διάμετρο .

Να είσθε βέβαιοι , ότι θα υπάρξει και διαφορετική λύση από αυτήν που θα δώσετε !

Με Stewart στο AMB,

$\boxed{x=17}$ Πράγματι, επειδή $\displaystyle MA = MB = \frac{{x + 7}}{{\sqrt 2 }}$ είναι:

$\displaystyle \frac{{{{(x + 7)}^2}}}{2} \cdot x + \frac{{{{(x + 7)}^2}}}{2} \cdot 7 = 169(x + 7) + 7x(x + 7) \Leftrightarrow x = 17$

#3

Αλλιώς, με Π. Θ στο OMS:

: Λ.Δ.Δ.png (13.59 KiB) Προβλήθηκε 580 φορές

$\displaystyle \frac{{{{(x + 7)}^2} + {{(x - 7)}^2}}}{4} = 169 \Leftrightarrow$ $\boxed{x=17}$

#4

Αν

η ακτίνα του ημικυκλίου τότε $\boxed{MA = MB = r = R\sqrt 2 }$ .

1 Γράφω τον κύκλο (M,r)

και θα είναι

$\left\{ \begin{gathered} x + 7 = 2R \hfill \\ 7x = {r^2} - M{S^2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x + 7 = 2R \hfill \\ 7(2R - 7) = 2{R^2} - 169 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 17 \hfill \\ R = 12 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

: Λοιπές γεωμετρικές δυνάμεις_3.png (19.84 KiB) Προβλήθηκε 557 φορές

2 Από Θ. συνημιτόνου στο $\vartriangle MAS$ έχω : $M{S^2} = M{A^2} + A{S^2} - 2MA \cdot AS\cos 45^\circ \Rightarrow 169 = 2{R^2} + 49 - 2 \cdot R\sqrt 2 \cdot 7\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}$

Πάλι έχω την ίδια εξίσωση : ${R^2} - 7R - 60 = 0$ και άρα $R = 12\,\,\kappa \alpha \iota \,\,x = 17$

nickchalkida · #5

Από δύναμη σημείου

έχω

.
Από ομοιότητα τριγώνων MFS

,

παίρνω

$\displaystyle{ \begin{aligned} & \frac{13}{(x+7)/2}=\frac{x+7}{13+y} \rightarrow \\ & \frac{(x+7)^2}{2} = 169 + 13y \rightarrow \\ & \frac{(x+7)^2}{2} = 169 + 7x \rightarrow \cdots \rightarrow x=17 \\ \end{aligned} }$

#6

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 11, 2018 1:13 pm

Να είσθε βέβαιοι , ότι θα υπάρξει και διαφορετική λύση από αυτήν που θα δώσετε !

Η ρήση του Θανάση ναι μεν δεν είναι ψευδής, αλλά δεν λέει και κάτι μη τετριμμένο. Ακόμα και δύο λύσεις να δινόταν, τότε είναι βέβαιο ότι υπάρχει διαφορετική λύση από αυτήν που έδωσε έκαστος εκ των δύο.

Επί της ουσίας. Δανείζομαι το σχήμα του Νίκου.

: Λοιπές γεωμετρικές δυνάμεις_3.png (19.84 KiB) Προβλήθηκε 531 φορές

Eίναι $\displaystyle AM^2=AS^2+MS^2-2AM \cdot MS \cdot cos(MSA)\Leftrightarrow 2R^2=218+182\frac{R-7}{13}$ ,

από όπου παίρνουμε R=12

, οπότε

.

edit: Ουπς. Όταν έγραφα τη λύση στο σχολείο, δεν πρόσεξα τη δεύτερη λύση του Νίκου, με αποτέλεσμα να διατυπώσω ουσιαστικά την ίδια λύση...

#7

Γιώργος Ρίζος έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 12, 2018 1:17 pm

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 11, 2018 1:13 pm

Να είσθε βέβαιοι , ότι θα υπάρξει και διαφορετική λύση από αυτήν που θα δώσετε !
Η ρήση του Θανάση ναι μεν δεν είναι ψευδής, αλλά δεν λέει και κάτι μη τετριμμένο. Ακόμα και δύο λύσεις να δινόταν, τότε είναι βέβαιο ότι υπάρχει διαφορετική λύση από αυτήν που έδωσε έκαστος εκ των δύο.

Επί της ουσίας. Δανείζομαι το σχήμα του Νίκου.

Λοιπές γεωμετρικές δυνάμεις_3.png

Eίναι $\displaystyle AM^2=AS^2+MS^2-2AM \cdot MS \cdot cos(MSA)\Leftrightarrow 2R^2=218+182\frac{R-7}{13}$ ,

από όπου παίρνουμε , οπότε .

edit: Ουπς. Όταν έγραφα τη λύση στο σχολείο, δεν πρόσεξα τη δεύτερη λύση του Νίκου, με αποτέλεσμα να διατυπώσω ουσιαστικά την ίδια λύση...

Γιώργο γεια .
Έχω κι άλλη λύση( Γεωμετρική) μη τετριμμένη , αλλά υποψιάζομαι ότι την γνωρίζει τουλάχιστον ο Θανάσης . Θα τον παρακαλούσα να μην παρέμβει ακόμα τουλάχιστον για 1-2 μέρες

#8

Ακόμα μια παρόμοια με κάποιες από τις προηγούμενες.

: 12-11-2018 Γεωμετρία.jpg (60.58 KiB) Προβλήθηκε 493 φορές

Έστω

, οπότε

.

Τότε $\displaystyle MS = 13 \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {7 - R} \right)}^2} + {R^2}} = 13 \Leftrightarrow {R^2} - 7R - 60 = 0 \Leftrightarrow R = 12$ κ.ο.κ.

#9

Και μια ακόμα, αμιγώς γεωμετρική.

: 12-11-2018 Γεωμετρία b.jpg (53.73 KiB) Προβλήθηκε 490 φορές

Από τους τύπους της δύναμης σημείου ως προς κύκλο είναι

$\displaystyle AS \cdot SB = {R^2} - S{O^2} \Leftrightarrow 7x = {R^2} - S{O^2}$ (1)

Επίσης, από Πυθαγόρειο Θεώρημα στο MOS

είναι $\displaystyle S{O^2} = {13^2} - {R^2}$ (2)

Ακόμα είναι $\displaystyle 7 + x = 2R \Leftrightarrow x = 2R - 7$ (3),

οπότε η (1) γίνεται $\displaystyle 7\left( {2R - 7} \right) = 2{R^2} - 169 \Leftrightarrow {R^2} - 7R + 60 = 0$ κ.ο.κ.

Λοιπές διαμετρικές δυνάμεις

Λοιπές διαμετρικές δυνάμεις

Re: Λοιπές διαμετρικές δυνάμεις

Re: Λοιπές διαμετρικές δυνάμεις

Re: Λοιπές διαμετρικές δυνάμεις

Re: Λοιπές διαμετρικές δυνάμεις

Re: Λοιπές διαμετρικές δυνάμεις

Re: Λοιπές διαμετρικές δυνάμεις

Re: Λοιπές διαμετρικές δυνάμεις

Re: Λοιπές διαμετρικές δυνάμεις

Μέλη σε σύνδεση