Πονηρή εξίσωση

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11552
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Πονηρή εξίσωση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Νοέμ 16, 2018 10:54 am

Να λυθεί η εξίσωση : a(a+x)=x(2a+x)



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4259
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Πονηρή εξίσωση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Παρ Νοέμ 16, 2018 12:00 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Νοέμ 16, 2018 10:54 am
Να λυθεί η εξίσωση : a(a+x)=x(2a+x)

Χάνω κάτι;

\displaystyle{\begin{aligned} 
a\left ( x+a \right )=x\left ( 2a+x \right ) &\Leftrightarrow ax +a^2 = 2ax + x^2 \\  
 &\Leftrightarrow x^2 +ax - a^2 =0 \\  
 &\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\overset{\Delta = 5a^2}{\Leftarrow \! =\! =\! =\! =\! =\! \Rightarrow} \left\{\begin{matrix} 
x_1 & =  & \dfrac{-a+\sqrt{5a^2}}{2} \\\\  
 x_2& =  & \dfrac{-a-\sqrt{5a^2}}{2}   
\end{matrix}\right. \\ 
 &\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 
x_1 & =  & \dfrac{-a+\sqrt{5}\left | a \right |}{2} \\\\  
 x_2& =  & \dfrac{-a-\sqrt{5}\left | a \right |}{2}   
\end{matrix}\right. 
\end{aligned}}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9214
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Πονηρή εξίσωση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Νοέμ 16, 2018 12:42 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Παρ Νοέμ 16, 2018 12:00 pm
KARKAR έγραψε:
Παρ Νοέμ 16, 2018 10:54 am
Να λυθεί η εξίσωση : a(a+x)=x(2a+x)

Χάνω κάτι;
Μια συμβουλή από κάποιον πολύ μεγαλύτερο από σένα: Ποτέ μην "τσιμπάς" με τον KARKAR!
Πάντα έχει έναν άσο στο μανίκι του :lol: Όταν λέει πονηρή εξίσωση το εννοεί!


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4259
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Πονηρή εξίσωση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Παρ Νοέμ 16, 2018 1:07 pm

Γιώργο, το ξέρω αυτό! Για αυτό ρωτώ τι χάνω! ;


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12133
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Πονηρή εξίσωση

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Νοέμ 16, 2018 1:13 pm

Υποθέτω ότι το πονηρό της άσκησης (που δικαιολογεί ότι είμαστε στον φάκελο των Διασκεδαστικών Μαθηματικών) είναι
ότι η μία ρίζα είναι η \dfrac {a}{\phi}.


nikkru
Δημοσιεύσεις: 339
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 26, 2009 6:42 pm

Re: Πονηρή εξίσωση

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikkru » Παρ Νοέμ 16, 2018 7:17 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Νοέμ 16, 2018 10:54 am
Να λυθεί η εξίσωση : a(a+x)=x(2a+x)
Για a\neq 0 από ιδιότητες αναλογιών καταλήγουμε στην παρατήρηση του κ.Μιχάλη:

a(a+x)=x(2a+x)\Leftrightarrow \frac{2a+x}{a+x}=\frac{a}{x}=\frac{2a+x-a}{a+x-x}\Leftrightarrow \frac{a}{x}=\frac{a+x}{a}=\varphi \Leftrightarrow x=\frac{a}{\varphi }


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3017
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Πονηρή εξίσωση

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Νοέμ 16, 2018 7:37 pm

nikkru έγραψε:
Παρ Νοέμ 16, 2018 7:17 pm
KARKAR έγραψε:
Παρ Νοέμ 16, 2018 10:54 am
Να λυθεί η εξίσωση : a(a+x)=x(2a+x)
Για a\neq 0 από ιδιότητες αναλογιών καταλήγουμε στην παρατήρηση του κ.Μιχάλη:

a(a+x)=x(2a+x)\Leftrightarrow \frac{2a+x}{a+x}=\frac{a}{x}=\frac{2a+x-a}{a+x-x}\Leftrightarrow \frac{a}{x}=\frac{a+x}{a}=\varphi \Leftrightarrow x=\frac{a}{\varphi }
Οπως έγραψε και ο Τόλης παραπάνω η εξίσωση για a\neq 0
έχει δύο ρίζες ενώ για a=0 μία .


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11552
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Πονηρή εξίσωση

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Νοέμ 16, 2018 7:52 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Παρ Νοέμ 16, 2018 12:00 pm
 \left\{\begin{matrix} 
x_1 & =  & \dfrac{-a+\sqrt{5}\left | a \right |}{2} =\dfrac{a}{\phi}\\\\  
 x_2& =  & \dfrac{-a-\sqrt{5}\left | a \right |}{2}=-a\phi   
\end{matrix}\right. 
\end{aligned}}
Θα μπορούσε ο Αποστόλης να δώσει την παραπάνω ως τελική λύση , αλλά το πονηρό είναι αλλού :?:


Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1453
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Πονηρή εξίσωση

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Παρ Νοέμ 16, 2018 9:31 pm

Να λυθεί ως προς τι ;

\displaystyle \begin{gathered} 
  a(a + x) = x(2a + x) \Leftrightarrow {a^2} + ax - 2ax - {x^2} = 0 \Leftrightarrow  \hfill \\ 
   \Leftrightarrow {a^2} - ax - {x^2} = 0 \Leftrightarrow a = \frac{{x(1 \pm \sqrt 5 )}}{2} \hfill \\  
\end{gathered}
τελευταία επεξεργασία από exdx σε Παρ Νοέμ 16, 2018 10:16 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Kαλαθάκης Γιώργης
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4259
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Πονηρή εξίσωση

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Παρ Νοέμ 16, 2018 9:43 pm

exdx έγραψε:
Παρ Νοέμ 16, 2018 9:31 pm
Να λυθεί ως προς τι ;
Γιώργη,

you got a point there. Ενστικτωδώς , θεωρούμε τις εξισώσεις ως προς x αλλά δεν είναι υποχρεωτικό. Θανάση , αυτό είναι το πονηρό;


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11552
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Πονηρή εξίσωση

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Νοέμ 16, 2018 10:12 pm

exdx έγραψε:
Παρ Νοέμ 16, 2018 9:31 pm
Να λυθεί ως προς τι ;

\displaystyle  
  {a^2} - ax - {x^2} = 0 \Leftrightarrow a =\phi x , 
 
 
 or ,  a=-\dfrac{x}{\phi}
Αυτό :!:

Οι παλιότεροι θα θυμούνται ότι σε πανελλήνιες εξετάσεις κάποιος μαθητής έλυσε μια παραμετρική

εξίσωση ως ο άγνωστος να ήταν η παράμετρος και έγινε αρκετός ντόρος γι αυτό .

Την επόμενη χρονιά , η εκφώνηση ήταν : Να λυθεί η εξίσωση ...... με άγνωστο τον x

Solve for x , που λένε και οι Αμερικάνοι ( κι εμείς απeυθυνόμενοι στο Wolframalpha ! )

Τα \phi τα έβαλα για να σας ...μπερδέψω :lol:


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης