Σελίδα 1 από 1

Πονηρή εξίσωση

Δημοσιεύτηκε: Παρ Νοέμ 16, 2018 10:54 am
από KARKAR
Να λυθεί η εξίσωση : a(a+x)=x(2a+x)

Re: Πονηρή εξίσωση

Δημοσιεύτηκε: Παρ Νοέμ 16, 2018 12:00 pm
από Tolaso J Kos
KARKAR έγραψε:
Παρ Νοέμ 16, 2018 10:54 am
Να λυθεί η εξίσωση : a(a+x)=x(2a+x)

Χάνω κάτι;

\displaystyle{\begin{aligned} 
a\left ( x+a \right )=x\left ( 2a+x \right ) &\Leftrightarrow ax +a^2 = 2ax + x^2 \\  
 &\Leftrightarrow x^2 +ax - a^2 =0 \\  
 &\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\overset{\Delta = 5a^2}{\Leftarrow \! =\! =\! =\! =\! =\! \Rightarrow} \left\{\begin{matrix} 
x_1 & =  & \dfrac{-a+\sqrt{5a^2}}{2} \\\\  
 x_2& =  & \dfrac{-a-\sqrt{5a^2}}{2}   
\end{matrix}\right. \\ 
 &\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 
x_1 & =  & \dfrac{-a+\sqrt{5}\left | a \right |}{2} \\\\  
 x_2& =  & \dfrac{-a-\sqrt{5}\left | a \right |}{2}   
\end{matrix}\right. 
\end{aligned}}

Re: Πονηρή εξίσωση

Δημοσιεύτηκε: Παρ Νοέμ 16, 2018 12:42 pm
από george visvikis
Tolaso J Kos έγραψε:
Παρ Νοέμ 16, 2018 12:00 pm
KARKAR έγραψε:
Παρ Νοέμ 16, 2018 10:54 am
Να λυθεί η εξίσωση : a(a+x)=x(2a+x)

Χάνω κάτι;
Μια συμβουλή από κάποιον πολύ μεγαλύτερο από σένα: Ποτέ μην "τσιμπάς" με τον KARKAR!
Πάντα έχει έναν άσο στο μανίκι του :lol: Όταν λέει πονηρή εξίσωση το εννοεί!

Re: Πονηρή εξίσωση

Δημοσιεύτηκε: Παρ Νοέμ 16, 2018 1:07 pm
από Tolaso J Kos
Γιώργο, το ξέρω αυτό! Για αυτό ρωτώ τι χάνω! ;

Re: Πονηρή εξίσωση

Δημοσιεύτηκε: Παρ Νοέμ 16, 2018 1:13 pm
από Mihalis_Lambrou
Υποθέτω ότι το πονηρό της άσκησης (που δικαιολογεί ότι είμαστε στον φάκελο των Διασκεδαστικών Μαθηματικών) είναι
ότι η μία ρίζα είναι η \dfrac {a}{\phi}.

Re: Πονηρή εξίσωση

Δημοσιεύτηκε: Παρ Νοέμ 16, 2018 7:17 pm
από nikkru
KARKAR έγραψε:
Παρ Νοέμ 16, 2018 10:54 am
Να λυθεί η εξίσωση : a(a+x)=x(2a+x)
Για a\neq 0 από ιδιότητες αναλογιών καταλήγουμε στην παρατήρηση του κ.Μιχάλη:

a(a+x)=x(2a+x)\Leftrightarrow \frac{2a+x}{a+x}=\frac{a}{x}=\frac{2a+x-a}{a+x-x}\Leftrightarrow \frac{a}{x}=\frac{a+x}{a}=\varphi \Leftrightarrow x=\frac{a}{\varphi }

Re: Πονηρή εξίσωση

Δημοσιεύτηκε: Παρ Νοέμ 16, 2018 7:37 pm
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
nikkru έγραψε:
Παρ Νοέμ 16, 2018 7:17 pm
KARKAR έγραψε:
Παρ Νοέμ 16, 2018 10:54 am
Να λυθεί η εξίσωση : a(a+x)=x(2a+x)
Για a\neq 0 από ιδιότητες αναλογιών καταλήγουμε στην παρατήρηση του κ.Μιχάλη:

a(a+x)=x(2a+x)\Leftrightarrow \frac{2a+x}{a+x}=\frac{a}{x}=\frac{2a+x-a}{a+x-x}\Leftrightarrow \frac{a}{x}=\frac{a+x}{a}=\varphi \Leftrightarrow x=\frac{a}{\varphi }
Οπως έγραψε και ο Τόλης παραπάνω η εξίσωση για a\neq 0
έχει δύο ρίζες ενώ για a=0 μία .

Re: Πονηρή εξίσωση

Δημοσιεύτηκε: Παρ Νοέμ 16, 2018 7:52 pm
από KARKAR
Tolaso J Kos έγραψε:
Παρ Νοέμ 16, 2018 12:00 pm
 \left\{\begin{matrix} 
x_1 & =  & \dfrac{-a+\sqrt{5}\left | a \right |}{2} =\dfrac{a}{\phi}\\\\  
 x_2& =  & \dfrac{-a-\sqrt{5}\left | a \right |}{2}=-a\phi   
\end{matrix}\right. 
\end{aligned}}
Θα μπορούσε ο Αποστόλης να δώσει την παραπάνω ως τελική λύση , αλλά το πονηρό είναι αλλού :?:

Re: Πονηρή εξίσωση

Δημοσιεύτηκε: Παρ Νοέμ 16, 2018 9:31 pm
από exdx
Να λυθεί ως προς τι ;

\displaystyle \begin{gathered} 
  a(a + x) = x(2a + x) \Leftrightarrow {a^2} + ax - 2ax - {x^2} = 0 \Leftrightarrow  \hfill \\ 
   \Leftrightarrow {a^2} - ax - {x^2} = 0 \Leftrightarrow a = \frac{{x(1 \pm \sqrt 5 )}}{2} \hfill \\  
\end{gathered}

Re: Πονηρή εξίσωση

Δημοσιεύτηκε: Παρ Νοέμ 16, 2018 9:43 pm
από Tolaso J Kos
exdx έγραψε:
Παρ Νοέμ 16, 2018 9:31 pm
Να λυθεί ως προς τι ;
Γιώργη,

you got a point there. Ενστικτωδώς , θεωρούμε τις εξισώσεις ως προς x αλλά δεν είναι υποχρεωτικό. Θανάση , αυτό είναι το πονηρό;

Re: Πονηρή εξίσωση

Δημοσιεύτηκε: Παρ Νοέμ 16, 2018 10:12 pm
από KARKAR
exdx έγραψε:
Παρ Νοέμ 16, 2018 9:31 pm
Να λυθεί ως προς τι ;

\displaystyle  
  {a^2} - ax - {x^2} = 0 \Leftrightarrow a =\phi x , 
 
 
 or ,  a=-\dfrac{x}{\phi}
Αυτό :!:

Οι παλιότεροι θα θυμούνται ότι σε πανελλήνιες εξετάσεις κάποιος μαθητής έλυσε μια παραμετρική

εξίσωση ως ο άγνωστος να ήταν η παράμετρος και έγινε αρκετός ντόρος γι αυτό .

Την επόμενη χρονιά , η εκφώνηση ήταν : Να λυθεί η εξίσωση ...... με άγνωστο τον x

Solve for x , που λένε και οι Αμερικάνοι ( κι εμείς απeυθυνόμενοι στο Wolframalpha ! )

Τα \phi τα έβαλα για να σας ...μπερδέψω :lol: