Απλοποιησάρα

KARKAR · #1

Στο παρόν θέμα το σύμβολο

σημαίνει τον διψήφιο

και όχι το γινόμενο $a\cdot b$

Λοιπόν , βρείτε λύσεις για την παρακάτω - σωστή εν τέλει - απλοποίηση : $\dfrac{ab}{bc}=\dfrac{a}{c}$

ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ · #2

Για το

ισχύει το ίδιο που ισχύει και για το

?

KARKAR · #3

Προφανώς !

Λάμπρος Κατσάπας · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 24, 2018 10:11 pm
Στο παρόν θέμα το σύμβολο σημαίνει τον διψήφιο και όχι το γινόμενο $a\cdot b$

Λοιπόν , βρείτε λύσεις για την παρακάτω - σωστή εν τέλει - απλοποίηση : $\dfrac{ab}{bc}=\dfrac{a}{c}$

Το κλασικό είναι το $\frac{16}{64}.$

Υπάρχουν και άλλα π.χ. $\frac{19}{95},\frac{49}{98},\frac{26}{65}.$ (αυτά είναι όλα, το αφήνω ως άσκηση).

#5

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 24, 2018 10:59 pm

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 24, 2018 10:11 pm
Στο παρόν θέμα το σύμβολο σημαίνει τον διψήφιο και όχι το γινόμενο $a\cdot b$

Λοιπόν , βρείτε λύσεις για την παρακάτω - σωστή εν τέλει - απλοποίηση : $\dfrac{ab}{bc}=\dfrac{a}{c}$
Το κλασικό είναι το $\frac{16}{64}.$

Υπάρχουν και άλλα π.χ. $\frac{19}{95},\frac{49}{98},\frac{26}{65}.$ (αυτά είναι όλα, το αφήνω ως άσκηση).

Σε ένα αρθράκι μου με τίτλο "Ο τυχερός τυπογράφος" στο βιβλίο μου με τον Ν. Σπανουδάκη, "Μαθηματικά για όλους, τ. 10" για τον διαγωνισμό Καγκουρό του 2016 είχα μαζέψει πολλά παρόμοια και προεκτάσεις. (Τα έγραφα στην ισοδύναμη μορφή $1\times 64 = 16\times 4, \, 1\times 95 = 19\times 5$ και λοιπά της μορφής $a\times \overline {bc}= \overline {ab}\times c$ και πολλά άλλα). Ακολουθεί μικρό απόσπασμα.

Πρόβλημα 2. Να βρεθούν μερικά παραδείγματα όπου ισχύει η ισότητα $a\times \overline {bcd}= \overline {abc}\times d$ Δεν ψάχνουμε όλες τις περιπτώσεις αλλά αρκούν μερικές. Κατόπιν να βρεθούν παραδείγματα με $a\times \overline {bcde}= \overline {abcd}\times e$ .

Ο πίνακας που ακολουθεί καταγράφει μερικές τέτοιες περιπτώσεις. Τα κοινά γινόμενα ανά ζεύγη είναι 3388, 3270, 2928, 12972 και 51888, αντίστοιχα.
- Δύσκολα προβλήματα μας βάζεις, απάντησε ο τυπογράφος, αλλά στην προσπάθειά μου να βρω αριθμούς με $a \times \overline {bcd} = \overline {abc}\times d$ πάλι έκανα λάθος με το $\times$ . Στην θέση της ισότητας στα γινόμενα που μου ζήτησες, εγώ έψαξα την $a \times \overline {bcd} = \overline {ab}\times \overline {cd}$
- Και λοιπόν, είπε ο κ. Τζίνης, βρήκες τέτοια νούμερα;
- Φυσικά. Αφού ξέρεις ότι τα Μαθηματικά είναι το χόμπι μου.

Πίνακας: $4\times 847 = 484\times 7$ και $6\times 545= 654\times 5$ και $7\times 424 = 742\times 4$ και $4\times 3243 = 4324\times 3$ και
$8\times 6486 = 8648\times 6$

Κατόπιν το άρθρο έχει παραδείγματα με πιο σύνθετες περιπτώσεις όπως

$\overline {ab} \times \overline {cd} \overline {ef}= \overline {abcd}\times \overline {ef}$ και $\overline {ab} \times \overline {cd} \times \overline {efg}= \overline {abcd} \times e \times \overline {fg}$

και

$\overline {abc} \times d \overline {ef} \times g \times \overline {hi}= a \times \overline {bc} \times \overline {d} \overline {ef} \times g \times \overline {hi}= a \times \overline {bc} \times {d} \times \overline {ef}\times \overline {ghi}$ και άλλα.

#6

Καλημέρα σε όλους. Μόλις είδα την ανάρτηση του Μιχάλη και τη διαφορετική μορφή που παρουσιάζει.

Με το όμορφο αυτό θέμα (στη αρχική μορφή) έχει ασχοληθεί και ο Alfred Posamentier στο βιβλίο του Math Wonders to Inspire Teachers and Students.

Η μορφή του κλάσματος και της σχηματιζόμενης εξίσωσης είναι $\displaystyle \frac{{10a + b}}{{10b + c}} = \frac{a}{c}$ , με τα a,b,c

φυσικούς, θετικούς αριθμούς.

Επιλύοντας την εξίσωση π.χ. ως προς

, έχουμε $\displaystyle c = \frac{{10ab}}{{9a + b}}$

Ο παρονομαστής είναι διάφορος του μηδενός, γιατί 9a + b > 0

, αφού είναι φυσικοί αριθμοί.

Η συνθήκη που πρέπει να ισχύει είναι ο

να είναι φυσικός άρα $\displaystyle \frac{{10ab}}{{9a + b}} \in N$ .

Για να ελέγξουμε τις περιπτώσεις, φτιάχνουμε πίνακα διπλής εισαγωγής:

: 25-11-2018 Απλοποιήσεις.jpg (91.08 KiB) Προβλήθηκε 1253 φορές

Παρατηρούμε ότι για a = 1

και

ο

είναι φυσικός (c = 4)

. Πράγματι, $\displaystyle \frac{{16}}{{64}} = \frac{1}{4}$ ... κ.ο.κ.

ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ · #7

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 24, 2018 10:11 pm
Στο παρόν θέμα το σύμβολο σημαίνει τον διψήφιο και όχι το γινόμενο $a\cdot b$
Λοιπόν , βρείτε λύσεις για την παρακάτω - σωστή εν τέλει - απλοποίηση : $\dfrac{ab}{bc}=\dfrac{a}{c}$

$\dfrac{ab}{bc}=\dfrac{a}{c}$ (1)
Ισχύει ότι $1\leq a,b\leq 9$ και $a,b\in Z$
καθώς αποτελούν ψηφια δεκάδων των αριθμών ab και bc αντίστοιχα. Ακόμη, $c\neq 0$ αφού είναι παρανομαστής κλάσματος.

Έχουμε: $\frac{ab}{bc}=\frac{a}{c}\Leftrightarrow \frac{10a+b}{10b+c}=\frac{a}{c}$ . Δηλαδή υπάρχει αριθμός n>1

τέτοιος ώστε $\frac{10a+b}{n}=a$ και $\frac{10b+c}{n}=c$

Είναι: $\frac{10a+b}{n}=a\Leftrightarrow10a+b=an\Leftrightarrow b=an-10a\Leftrightarrow b=a\left ( n-10 \right )$ (2)
και $\frac{10b+c}{n}=c \Leftrightarrow 10b+c=nc\Leftrightarrow 10b=c\left ( n-1 \right )\Leftrightarrow b=c\frac{n-1}{10}$ (3)

Απο τις σχέσεις (2) και (3)
συμπεραίνουμε πως το b είναι πολλαπλάσιο των a και c. Απο την (2) έχουμε ότι $1\leq n-10\leq 9\Leftrightarrow11 \leq n\leq19$ . Η σχέση (3) βρίσκουμε πως ισχύει για n=11,13,16,19 οπότε βρίσκομε τις αντίστοιχες τριάδες (a,b,c):(111),(2,6,5),(1,6,4),(1,9,5). Άρα έχουμε τους αριθμούς $\frac{11}{11},\frac{26}{65},\frac{16}{64},\frac{19}{95}$ . Αντικαθιστώντας στην σχέση (1) παρατηρούμε πως ισχύουν.

#8

ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 25, 2018 3:04 pm

Έχουμε: $\frac{10a+b}{10b+c}=\frac{a}{c}$ . Δηλαδή υπάρχει αριθμός
τέτοιος ώστε $\frac{10a+b}{n}=a$ και $\frac{10b+c}{n}=c$

Θεοδόση, για ξαναδές το αυτό. Για παράδειγμα, εφαρμόζεται στην ισότητα $\frac{3}{6}=\frac{2}{4}$ ;

ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ · #9

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 25, 2018 3:27 pm

ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 25, 2018 3:04 pm

Έχουμε: $\frac{10a+b}{10b+c}=\frac{a}{c}$ . Δηλαδή υπάρχει αριθμός
τέτοιος ώστε $\frac{10a+b}{n}=a$ και $\frac{10b+c}{n}=c$
Θεοδόση, για ξαναδές το αυτό. Για παράδειγμα, εφαρμόζεται στην ισότητα $\frac{3}{6}=\frac{2}{4}$ ;

Έχετε δίκιο κύριε Μιχάλη.Το αυθαίρετο βήμα στην λύση μου, ήταν να υποθέσω πως υπάρχει θετικός ακέραιος

τέτοιος ώστε να διαιρεί ταυτόχρονα το 10a+b

και το

. Το ίδιο λάθος έκανα και με τα 10b+c

και

. Εκτός κι αν αποδείξω πως το

είναι πολλαπλάσιο των

και

#10

ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 25, 2018 4:37 pm
Εκτός κι αν αποδείξω πως το είναι πολλαπλάσιο των και

Θεοδόσιε, πρώτα απ' όλα εύγε που ασχολείσαι με τα θέματα του φόρουμ. Εύχομαι να το απολαύσεις.

Το παραπάνω για το

δεν είναι σωστό, δηλαδή δεν προκύπτει από τις υποθέσεις. 'Ενας τρόπος να το δεις
είναι από τις λύσεις $\displaystyle{ \frac{26}{65},\,\frac{16}{64},\, \frac{19}{95} }$ που έχεις ήδη προσδιορίσει. Σε αυτές το

δεν
είναι πολλαπλάσιο του

.

KARKAR · #11

Ενδιαφέροντα στοιχεία για προηγούμενες αναφορές στο πρόβλημα . Να δούμε πως προέκυψε στον θεματοδότη :

Προσπαθώντας να εξακριβώσω την κλίση της ευθείας στην οποία ανήκει ο γεωμετρικός τόπος αυτός , βρήκα

ότι σ' αυτήν την ευθεία , ανήκουν τα σημεία $(-\dfrac{15}{2},0)$ και $(\dfrac{10}{3},\dfrac{13}{3} )$ , συνεπώς η κλίση της είναι :

$\lambda=\dfrac{\dfrac{13}{3}}{\dfrac{10}{3}+\dfrac{15}{2}}=\dfrac{6\cdot 13}{3\cdot 65}=\dfrac{26}{65}=\dfrac{2}{5}$ .

Η παρατήρηση της εντυπωσιακότητας του αποτελέσματος , παρήγαγε το θεματάκι ...

Αν είχα κάνει αλλιώς την απλοποίηση .... γιοκ απλοποιησάρα

#12

Προτάθηκε και στο παρελθόν εδώ.

Θανάση, στον δεύτερο σύνδεσμο του συνδέσμου σε περιμένει έκπληξη!

#13

Για να κλείνει, ας δώσω απόδειξη (τα κύρια βήματα):

Έχουμε $\displaystyle \frac{{10a + b}}{{10b + c}} = \frac{a}{c}$ , οπότε $\displaystyle{10a(c-b)=c(a-b), \, (*)}$ . Άρα ο

θα διαιρεί το δεξί μέλος, αφού διαιρεί το αριστερό. Οπότε είτε 5|c

ή

, που σημαίνει ότι είτε c=5

(μη ξεχνάμε ότι $c\ne 0$ αφού εμφανίζεται στον παρονομαστή) ή το a-b

είναι ένα από τα $0, \, 5, \, -5$ . Με άλλα λόγια έχουμε κάποιο από τα $c=5, \, a=b, \, a=b+5, \, a=b-5$ .

Βάζοντας αυτές τις σχέσεις πίσω στην (*)

μπορούμε εύκολα να βρούμε τις λύσεις, π.χ. με λίγες δοκιμές αλλά και με μικρά τεχνάσματα για να γλυτώσουμε κόπο. Π.χ. η c=5

δίνει

, οπότε $\displaystyle{2a= \frac {2b}{2b-9}= 1+ \frac {9}{2b-9}}$ συνεπώς $\displaystyle{2b-9 = \pm 1}$ ή $\displaystyle{\pm 3 }$ ή $\displaystyle{\pm 9}$ , και λοιπά.

ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ · #14

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 25, 2018 5:38 pm

ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 25, 2018 4:37 pm
Εκτός κι αν αποδείξω πως το είναι πολλαπλάσιο των και
Θεοδόσιε, πρώτα απ' όλα εύγε που ασχολείσαι με τα θέματα του φόρουμ. Εύχομαι να το απολαύσεις.

Το παραπάνω για το δεν είναι σωστό, δηλαδή δεν προκύπτει από τις υποθέσεις. 'Ενας τρόπος να το δεις
είναι από τις λύσεις $\displaystyle{ \frac{26}{65},\,\dfrac{16}{64},\, \dfrac{19}{95} }$ που έχεις ήδη προσδιορίσει. Σε αυτές το δεν
είναι πολλαπλάσιο του .

Σας ευχαριστώ, ήμουν αφηρημένος. Το οτι $b=c\dfrac{n-1}{10}$ δεν σημαίνει πως το

είναι πολλαπλάσιο του

καθώς $\dfrac{n-1}{10}\in Q$ , Αυτό ισχύει μόνο όταν n=11

οπότε

. Στην ουσία εγώ πήρα την ειδική περίπτωση στην οποία $n\in Z$ ενώ το σωστό είναι οτι $n\in Q$ . Σωστή και όμορφη λύση είναι η δική σας.

Απλοποιησάρα

Απλοποιησάρα

Re: Απλοποιησάρα

Re: Απλοποιησάρα

Re: Απλοποιησάρα

Re: Απλοποιησάρα

Re: Απλοποιησάρα

Re: Απλοποιησάρα

Re: Απλοποιησάρα

Re: Απλοποιησάρα

Re: Απλοποιησάρα

Re: Απλοποιησάρα

Re: Απλοποιησάρα

Re: Απλοποιησάρα

Re: Απλοποιησάρα

Μέλη σε σύνδεση