5η γωνία

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10923
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

5η γωνία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Νοέμ 29, 2018 9:25 am

5η  γωνία.png
5η γωνία.png (11.25 KiB) Προβλήθηκε 382 φορές
Υπολογίστε το μέτρο της γωνίας \theta



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1816
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: 5η γωνία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Πέμ Νοέμ 29, 2018 5:30 pm

Με αρχή τον Ceva, στην τριγωνομετρική του μορφή, με 0<\theta<80^o έχουμε:

\dfrac{sin40^o}{sin30^o}\dfrac{sin10^o }{sin20^o}\dfrac{sin \theta}{sin(80^o-\theta )}=1


4cos20^osin10^o=\dfrac{sin(80^o-\theta )}{sin\theta }


2(sin30^o-sin10^o)=\dfrac{sin(80^o-\theta )}{sin\theta }


sin\theta - sin(80^o-\theta )=2sin10^o  sin\theta


2sin(\theta-40^o) cos40^o= 2sin10^o  sin\theta


Η εξίσωση αυτή έχει λύση \theta=50^o.

Για την μοναδικότητα της λύσης, κόντρα στα ειωθότα, κάνουμε την σκέψη: Ας είναι όσο θέλει η AC. Τα σημεία B, S προσδιορίζονται κατά μοναδικό τρόπο (λόγω του κριτηρίου Γ-Π-Γ), οπότε και η γωνία \theta είναι μοναδική.

Επομένως θα ήταν ...σκάνδαλο αν η εξίσωση 2sin(\theta-40^o) cos40^o= 2sin10^o  sin\theta είχε και άλλη δεκτή λύση. :lol: :lol: :lol:


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4426
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: 5η γωνία

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Πέμ Νοέμ 29, 2018 7:01 pm

Καλησπέρα σε όλους. Ας δώσω και την αλγεβρική αιτιολόγηση της αποφυγής του σκανδάλου που περιγράφει ο Κώστας παραπάνω.


Είναι  \displaystyle 0 < \theta  < {80^o}

 \displaystyle 2\eta \mu (\theta  - {40^o})\sigma \upsilon \nu {40^o} = 2\eta \mu {10^o}\eta \mu \theta  \Leftrightarrow \eta \mu \theta  + \eta \mu \left( {\theta  - 80^\circ } \right) = \sigma \upsilon \nu \left( {10^\circ  - \theta } \right) - \sigma \upsilon \nu \left( {10^\circ  + \theta } \right)

 \displaystyle  \Leftrightarrow \eta \mu \theta  + \eta \mu \left( {\theta  - 80^\circ } \right) = \eta \mu \left( {80^\circ  + \theta } \right) - \eta \mu \left( {80^\circ  - \theta } \right)

 \displaystyle  \Leftrightarrow \eta \mu \left( {80^\circ  + \theta } \right) = \eta \mu \theta  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 
\theta  + 80^\circ  = 360^\circ k + \theta \\ 
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \vee \\ 
\theta  + 80^\circ  = 360^\circ k + 180^\circ  - \theta  
\end{array} \right.\;\;\;k \in Z .

Με τον αρχικό περιορισμό, βρίσκουμε ότι η εξίσωση έχει μοναδική λύση  \displaystyle \theta  = 50^\circ .


Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 1129
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Re: 5η γωνία

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Πέμ Νοέμ 29, 2018 7:59 pm

5.png
5.png (33.06 KiB) Προβλήθηκε 308 φορές

Με πλευρά την CA κατασκευάζω το ισόπλευρο τρίγωνο APC και φέρνω τα τμήματα BP, SP.

Οι κόκκινες γωνίες προκύπτουν εύκολα.

Παρατηρώ ότι το PBSC είναι εγγράψιμο (αφού \angle SPB=\angle SCB=20^{0}).

Συνεπώς \theta =50^{0}.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης