5η γωνία

KARKAR · #1

: 5η γωνία.png (11.25 KiB) Προβλήθηκε 580 φορές

Υπολογίστε το μέτρο της γωνίας $\theta$

#2

Με αρχή τον Ceva, στην τριγωνομετρική του μορφή, με $0<\theta<80^o$ έχουμε:

$\dfrac{sin40^o}{sin30^o}\dfrac{sin10^o }{sin20^o}\dfrac{sin \theta}{sin(80^o-\theta )}=1$

$4cos20^osin10^o=\dfrac{sin(80^o-\theta )}{sin\theta }$

$2(sin30^o-sin10^o)=\dfrac{sin(80^o-\theta )}{sin\theta }$

$sin\theta - sin(80^o-\theta )=2sin10^o sin\theta$

$2sin(\theta-40^o) cos40^o= 2sin10^o sin\theta$

Η εξίσωση αυτή έχει λύση $\theta=50^o$ .

Για την μοναδικότητα της λύσης, κόντρα στα ειωθότα, κάνουμε την σκέψη: Ας είναι όσο θέλει η AC.

Τα σημεία

προσδιορίζονται κατά μοναδικό τρόπο (λόγω του κριτηρίου Γ-Π-Γ), οπότε και η γωνία $\theta$ είναι μοναδική.

Επομένως θα ήταν ...σκάνδαλο αν η εξίσωση $2sin(\theta-40^o) cos40^o= 2sin10^o sin\theta$ είχε και άλλη δεκτή λύση.

#3

Καλησπέρα σε όλους. Ας δώσω και την αλγεβρική αιτιολόγηση της αποφυγής του σκανδάλου που περιγράφει ο Κώστας παραπάνω.

Είναι $\displaystyle 0 < \theta < {80^o}$

$\displaystyle 2\eta \mu (\theta - {40^o})\sigma \upsilon \nu {40^o} = 2\eta \mu {10^o}\eta \mu \theta \Leftrightarrow \eta \mu \theta + \eta \mu \left( {\theta - 80^\circ } \right) = \sigma \upsilon \nu \left( {10^\circ - \theta } \right) - \sigma \upsilon \nu \left( {10^\circ + \theta } \right)$

$\displaystyle \Leftrightarrow \eta \mu \theta + \eta \mu \left( {\theta - 80^\circ } \right) = \eta \mu \left( {80^\circ + \theta } \right) - \eta \mu \left( {80^\circ - \theta } \right)$

$\displaystyle \Leftrightarrow \eta \mu \left( {80^\circ + \theta } \right) = \eta \mu \theta \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \theta + 80^\circ = 360^\circ k + \theta \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \vee \\ \theta + 80^\circ = 360^\circ k + 180^\circ - \theta \end{array} \right.\;\;\;k \in Z$ .

Με τον αρχικό περιορισμό, βρίσκουμε ότι η εξίσωση έχει μοναδική λύση $\displaystyle \theta = 50^\circ$ .

Φανης Θεοφανιδης · #4

: 5.png (33.06 KiB) Προβλήθηκε 506 φορές

Με πλευρά την

κατασκευάζω το ισόπλευρο τρίγωνο APC

και φέρνω τα τμήματα BP, SP

.

Οι κόκκινες γωνίες προκύπτουν εύκολα.

Παρατηρώ ότι το PBSC

είναι εγγράψιμο (αφού $\angle SPB=\angle SCB=20^{0}$ ).

Συνεπώς $\theta =50^{0}$ .

5η γωνία

5η γωνία

Re: 5η γωνία

Re: 5η γωνία

Re: 5η γωνία

Μέλη σε σύνδεση