Λεπτό σημείο
Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος
Λεπτό σημείο
για να αποκτήσετε δικαίωμα απάντησης : Να δημοσιεύσετε δύο ( διαφορετικές ) λύσεις . Αμ πώς
Λέξεις Κλειδιά:
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13275
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Λεπτό σημείο
α) Από τη λύση του συστήματος παίρνω και τελειώνουμε. β) Από Θεωρήματα διαμέσων:
και το σημείο τομής του κύκλου με την κάθετη από το στη είναι το ζητούμενο σημείο
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5284
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: Λεπτό σημείο
Καλησπέρα σε όλους. Δίνω δύο διαφορετικές λύσεις. Μην ισχυριστεί κανείς ότι μοιάζουν... Η μια είναι με ύλη κορμού και η άλλη με ύλη κατεύθυνσης...
1η ΛΥΣΗ:
Φέρνω το ύψος . Έστω , οπότε .
Τότε
Αφαιρώντας κατά μέλη, βρίσκουμε .
Προσθέτοντας κατά μέλη, έχουμε κι έχουμε προσδιορίσει τη θέση του .
2η ΛΥΣΗ:
Έστω .
Τότε
Αφαιρώντας κατά μέλη, έχουμε
Προσθέτοντας κατά μέλη, έχουμε , οπότε κι έχουμε προσδιορίσει τη θέση του .
1η ΛΥΣΗ:
Φέρνω το ύψος . Έστω , οπότε .
Τότε
Αφαιρώντας κατά μέλη, βρίσκουμε .
Προσθέτοντας κατά μέλη, έχουμε κι έχουμε προσδιορίσει τη θέση του .
2η ΛΥΣΗ:
Έστω .
Τότε
Αφαιρώντας κατά μέλη, έχουμε
Προσθέτοντας κατά μέλη, έχουμε , οπότε κι έχουμε προσδιορίσει τη θέση του .
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5284
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: Λεπτό σημείο
Οι τύψεις για την εξόφθαλμη απάτη στην προηγούμενη ανάρτηση με κατατρύχουν. Προφανώς οι λύσεις είναι ίδιες. Το ομολογώ και καταθέτω ακόμα μία για εξιλέωση. Περιγράφω τα βήματα. Κατασκευάζω τον κύκλο με εξίσωση . Κατόπιν την υπερβολή με εξίσωση και εντοπίζω το κοινό τους σημείο στο θετικό τεταρτημόριο. Φέρω τις κάθετες και στους άξονες αντίστοιχα. Κατασκευάζω τους κύκλους και που τέμνονται στο . To είναι το τρίγωνο της υποθέσεως, άρα προσδιορίσαμε το .
- Συνημμένα
-
- 05-12-2018 Γεωμετρία.ggb
- (24.18 KiB) Μεταφορτώθηκε 32 φορές
Re: Λεπτό σημείο
Πρώτη λύση
Εύκολα έχουμε ότι το τρίγωνο είναι οξυγώνιο .
π.χ. άρα η .Αν
Από το γενικευμένο Π. Θ. έχω : . Με Π. Θ. στα ορθογώνια τρίγωνα
ή επιλέγω σύστημα αξόνων με αρχή το
Και οριζόντιο άξονα την . Θα είναι . .
και άρα :
Βλέπω τώρα ότι μοιάζει βεβαίως με του Γιώργου του Ρίζου αλλά όχι πλήρως
Δεύτερη λύση
Γράφω το κύκλο και τέμνει την ευθεία στα με το ανάμεσα στα και την (ακόμα στο .
Επειδή . Έστω , επειδή το τρίγωνο είναι ισοσκελές θα είναι .
Τώρα προεκτείνω τη πέρα των κατά τμήματα .
Θέτω και έχω από γενικευμένο Π. Θ. στα αμβλυγώνια τρίγωνα :
Δηλαδή το τρίγωνο είναι ορθογώνιο στο και άρα μετά με Π. Θ. έχω εύκολα τα ζητούμενα
Εύκολα έχουμε ότι το τρίγωνο είναι οξυγώνιο .
π.χ. άρα η .Αν
Από το γενικευμένο Π. Θ. έχω : . Με Π. Θ. στα ορθογώνια τρίγωνα
ή επιλέγω σύστημα αξόνων με αρχή το
Και οριζόντιο άξονα την . Θα είναι . .
και άρα :
Βλέπω τώρα ότι μοιάζει βεβαίως με του Γιώργου του Ρίζου αλλά όχι πλήρως
Δεύτερη λύση
Γράφω το κύκλο και τέμνει την ευθεία στα με το ανάμεσα στα και την (ακόμα στο .
Επειδή . Έστω , επειδή το τρίγωνο είναι ισοσκελές θα είναι .
Τώρα προεκτείνω τη πέρα των κατά τμήματα .
Θέτω και έχω από γενικευμένο Π. Θ. στα αμβλυγώνια τρίγωνα :
Δηλαδή το τρίγωνο είναι ορθογώνιο στο και άρα μετά με Π. Θ. έχω εύκολα τα ζητούμενα
- nickchalkida
- Δημοσιεύσεις: 312
- Εγγραφή: Τρί Ιουν 03, 2014 11:59 am
- Επικοινωνία:
Re: Λεπτό σημείο
1) Θεωρώ το σχεδόν ισοδύναμο σύστημα
και το επιλύω όπως στο σχήμα. Στο σημείο και με βάση
κατασκευάζω ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο με ορθή την ,
οι συντεταγμένες του οποιου είναι οι ρίζες του συστήματος.
Το αρχικό κατόπιν επιλύεται κατασκευάζοντας τις ρίζες , .
2) Δεν έχω δεύτερη
και το επιλύω όπως στο σχήμα. Στο σημείο και με βάση
κατασκευάζω ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο με ορθή την ,
οι συντεταγμένες του οποιου είναι οι ρίζες του συστήματος.
Το αρχικό κατόπιν επιλύεται κατασκευάζοντας τις ρίζες , .
2) Δεν έχω δεύτερη
- Συνημμένα
-
- leptosimio.png (212.74 KiB) Προβλήθηκε 722 φορές
Μη είναι βασιλικήν ατραπόν επί την γεωμετρίαν.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 6 επισκέπτες