Δυναμική εξίσωση

KARKAR · #1

Λύστε - στο $\mathbb{R}$ - την εξίσωση : (x^3-4)^3-(x^2+4)^2=0

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 13, 2018 9:39 am
Λύστε - στο $\mathbb{R}$ - την εξίσωση :

$\displaystyle {({x^3} - 4)^3} = {({x^2} + 4)^2} > 0 \Rightarrow {x^3} > 4 \Leftrightarrow$ $\boxed{x > \sqrt[3]{4}}$ (1)

$\displaystyle {({x^3} - 4)^3} - {x^6} = {({x^2} + 4)^2} - {x^6}$

$\displaystyle ({x^3} - {x^2} - 4)\left( {{{({x^3} - 4)}^2} + {x^2}({x^3} - 4) + {x^4}} \right) + ({x^3} - {x^2} - 4)({x^2} + {x^3} + 4) = 0$

$\displaystyle (x - 2)({x^2} + x + 2)\left( {{{({x^3} - 4)}^2} + {x^2}({x^3} - 4) + {x^4} + {x^2} + {x^3} + 4} \right) = 0,$ απ' όπου $\boxed{x=2}$

(οι άλλες δύο παρενθέσεις είναι θετικές. Η δεύτερη γιατί έχει αρνητική διακρίνουσα, ενώ η τρίτη από την (1)

).

KARKAR · #3

Εντυπωσιακό είναι ότι το πολυώνυμο της δεύτερης παρένθεσης , που μπορεί να γραφεί :

P(x)=x^6+x^5+x^4-7x^3-3x^2+20

είναι θετικό , για οποιαδήποτε τιμή του

. Αν λοιπόν δεν σκεφτόμασταν τόσο έξυπνα ,

όσο ο Γιώργος θα μπορούσαμε να αποδείξουμε την θετικότητα του $P(x) , \forall x\in \mathbb{R}$ ;

Σίγουρα πάντως το P(x)

είναι θετικό για $x\geq 0$ . Δείξτε τουλάχιστον αυτό

Altrian · #4

Μια προσπάθεια:
Για $x\geq 0$

$P(x)=x^{6}+x^{5}+x^{4}-7x^{3}-3x^{2}+20=(x^{6}-7x^{3}+13)+(x^{4}-3x^{2}+3)+(x^{5}+4).$
Κάθε μια παρένθεση είναι > 0

. Οι δύο πρώτες έχουν διακρίνουσα αρνητική με μεταβλητές τις $x^{3},x^{2}$ αντίστοιχα και η τρίτη γιατί $x\geq 0$ . Αρα $P(x)>0, x\geq 0$

Για x< 0

Θέτω

και αντικαθιστώ:
$P(y)=y^{6}-y^{5}+y^{4}+7y^{3}-3y^{2}+20 = (y^{6}-2y^{5}+y^{4})+(y^{5}-y^{4}+7y^{3})+(y^{4}-3y^{2}+20)$
$=y^{4}(y-1)^{2}+y^{3}(y^{2}-y+7)+[(y^{2})^{2}-3y^{2}+20]$

Ομοίως κάθε όρος είναι > 0

για τους δικούς του λόγους έκαστος επομένως $P(x)=P(y)> 0 , y>0\Rightarrow P(x)> 0, x<0$

Αρα συνολικά $P(x)>0, \forall x\in \Re$

Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης

#5

Λύστε στο $\mathbb{R}$ την εξίσωση :

${\left( {{x^3} - 4} \right)^3} - {\left( {{x^2} + 4} \right)^2} = 0$

Βλέπω την εξίσωση, την δίδω στον αυτόματο πιλότο μου επιστρέφει :

$(x - 2)({x^2} + x + 2)({x^6} + {x^5} + {x^4} - 7{x^3} - 3{x^2} + 20) = 0$

Ο αυτόματος πιλότος μου δείχνει ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης

$f(x) = {x^6} + {x^5} + {x^4} - 7{x^3} - 3{x^2} + 20$ είναι σαφέστατα πάνω από τον οριζόντιο άξονα.

Κοιτάζω μετά τη λύση του Γιώργου και βλέπω ότι ο ανθρώπινος νους

κονιορτοποιεί την όποια ταχύτητα του αυτόματου πιλότου !

Η λύση, του φίλου Γιώργου

, με αποθαρρύνει στο να βρω κάτι έστω εφάμιλλο των σκέψεων του .

Τελικά οι «μηχανές» κάνουν «γρήγορα» πράξεις , αλλά …

#6

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 13, 2018 9:39 am
Λύστε - στο $\mathbb{R}$ - την εξίσωση :

Η εξίσωση γράφεται $\displaystyle{\sqrt[3]{x^2+4}=\sqrt{x^3-4}.}$

Αν $\displaystyle{f(x)=\sqrt[3]{x^2+4}, x>0}$

η εξίσωση γράφεται $\displaystyle{f(x)=f^{-1}(x),}$ η οποία, κατά τα γνωστά, είναι ισοδύναμη με την $\displaystyle{f(x)=x}$

δηλαδή την $\displaystyle{x^3-x^2-4=0}$ , η οποία έχει μοναδική ρίζα την $\displaystyle{x=2.}$

KARKAR · #7

Χε,χε,χε ...

#8

matha έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 13, 2018 8:01 pm

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 13, 2018 9:39 am
Λύστε - στο $\mathbb{R}$ - την εξίσωση :
Η εξίσωση γράφεται $\displaystyle{\sqrt[3]{x^2+4}=\sqrt{x^3-4}.}$

Αν $\displaystyle{f(x)=\sqrt[3]{x^2+4}, x>0}$

η εξίσωση γράφεται $\displaystyle{f(x)=f^{-1}(x),}$ η οποία, κατά τα γνωστά, είναι ισοδύναμη με την $\displaystyle{f(x)=x}$

δηλαδή την $\displaystyle{x^3-x^2-4=0}$ , η οποία έχει μοναδική ρίζα την $\displaystyle{x=2.}$

Οπωσδήποτε φανταστική

λύση

#9

Αλλιώς: Επειδή (x^3-4)^3=(x^2+4)^2>0

, η ρίζα (ας την πούμε

) είναι θετική.

Θέτουμε $\displaystyle{f(x)= 4-x^3, \, g(x) =x^2+4}$ οπότε η εξίσωση γράφεται $\displaystyle{f(f(x))= g(g(x))}$ .

Θα χρησιμοποιήσω ότι η

είναι γνήσια φθίνουσα στο $\mathbb R$ και η

γνήσια αύξουσα στο $[0, \infty)$ , το οποίο περιέχει την ρίζα

. Επίσης είναι άμεσο ότι f(-x^2)=g(x^3)

για κάθε

.

Αν η ρίζα ικανοποιούσε 4-a^3>-a^2

θα είχαμε

$\displaystyle{f(f(a))= f(4-a^3)< f(-a^2)=g(a^3) < g(4+a^2) = g(g(a))}$ , άτοπο (η

είναι ρίζα).

Όμοια οδηγούμαστε σε άτοπο αν 4-a^3<-a^2

. Τελικά

και άρα

.

#10

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 13, 2018 9:39 am
Λύστε - στο $\mathbb{R}$ - την εξίσωση :

Θέλουμε

με

, οπότε

. Θέτουμε

με

, οπότε $\displaystyle{x^3-4=t^2}$ και $\displaystyle{x^2+4=t^3 \, (*)}$ .

Προσθέτοντας κατά μέλη είναι $\displaystyle{x^3+x^2=t^3 +t^2}$ και άρα x=t

(χωρίς άλλη ρίζα διότι π.χ. x^3+x^2

γνήσια αύξουσα στο x>0

).

Βάζοντας x=t

σε οποιαδήποτε από τις δύο (*)

δίνει $\displaystyle{x^3-4=x^2}$ , άρα x=2

.

KARKAR · #11

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 14, 2018 11:10 pm
Θέλουμε με , οπότε . Θέτουμε με , οπότε $\displaystyle{x^3-4=t^2}$ και $\displaystyle{x^2+4=t^3 \, (*)}$ .

Προσθέτοντας κατά μέλη είναι $\displaystyle{x^3+x^2=t^3 +t^2}$ και άρα (χωρίς άλλη ρίζα διότι π.χ. γνήσια αύξουσα στο ).

Βάζοντας σε οποιαδήποτε από τις δύο δίνει $\displaystyle{x^3-4=x^2}$ , άρα .

Φάνηκε ότι τα καλά ψάρια ήδη αλιεύτηκαν , να όμως που βρίσκουμε και άλλα λαβράκια

Δυναμική εξίσωση

Δυναμική εξίσωση

Re: Δυναμική εξίσωση

Re: Δυναμική εξίσωση

Re: Δυναμική εξίσωση

Re: Δυναμική εξίσωση

Re: Δυναμική εξίσωση

Re: Δυναμική εξίσωση

Re: Δυναμική εξίσωση

Re: Δυναμική εξίσωση

Re: Δυναμική εξίσωση

Re: Δυναμική εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση