Μισό

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10765
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Μισό

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Ιαν 17, 2019 8:38 pm

Μισό.png
Μισό.png (6.83 KiB) Προβλήθηκε 662 φορές
Από σημείο S της κάθετης πλευράς AC , ορθογωνίου τριγώνου \displaystyle ABC , φέρουμε τμήμα ST

κάθετο προς την υποτείνουσα BC. Πως πρέπει να επιλέξουμε το S , ώστε AS=2ST ;

Θεωρήστε γνωστά τα b,c . Έχετε και την επιλογή της υπολογιστικής λύσης :ewpu:



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 373
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Μισό

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Πέμ Ιαν 17, 2019 9:02 pm

Με γνωστά τα a,b,c είναι

\sin C=\dfrac{c}{a}=\dfrac{x}{SC}\Leftrightarrow x=\sin C\cdot SC=\dfrac{c}{a}\cdot \left ( b-2x \right )=\dfrac{bc}{a}-2x\cdot \dfrac{c}{a}\Leftrightarrow x+2x\cdot \dfrac{c}{a}=\dfrac{bc}{a}\Leftrightarrow ...x\left ( 1+\dfrac{2c}{a} \right )=\dfrac{bc}{a}\Leftrightarrow x=\dfrac{\dfrac{bc}{a}}{\dfrac{a+2c}{a}}=\dfrac{bc}{a+2c}\Leftrightarrow AS=2x=\dfrac{2bc}{a+2c}.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4388
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Μισό

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Πέμ Ιαν 17, 2019 9:27 pm

Καλησπέρα σε όλους. Από άλλο δρόμο στο ίδιο αποτέλεσμα με τον Πρόδρομο.


17-01-2019 Γεωμετρία b.jpg
17-01-2019 Γεωμετρία b.jpg (27.38 KiB) Προβλήθηκε 645 φορές

Έστω A(0,0), C(b, 0), B(0, c), b, c >0 οπότε  \displaystyle BC = a = \sqrt {{b^2} + {c^2}} και  \displaystyle S\left( {2t,0} \right),\;0 < t < \frac{b}{2} .

Είναι  \displaystyle BC:\;\;\;by + cx - bc = 0 ,


οπότε  \displaystyle ST = t \Leftrightarrow \frac{{\left| {2ct - bc} \right|}}{a} = t \Leftrightarrow c\left| {2t - b} \right| = at \Leftrightarrow bc - 2ct = at

οπότε  \displaystyle t = \frac{{bc}}{{2c + a}}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6667
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Μισό

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Ιαν 17, 2019 10:48 pm

Κατασκευή ( χωρίς υπολογισμούς)

Μισό τμήμα.png
Μισό τμήμα.png (20.26 KiB) Προβλήθηκε 629 φορές
Έστω K η προβολή του A στην υποτείνουσα . Φέρνω τη διχοτόμο AD του \vartriangle AKC.

Φέρνω τη ευθεία {g_3} κάθετη στη BC στο D. Ας είναι A' το συμμετρικό του A ως προς την {g_3}. Η A'D τέμνει την AC στο ζητούμενο σημείο S.

Η απόδειξη στηρίζεται στην ανάκλαση του φωτός !


Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1065
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Μισό

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Παρ Ιαν 18, 2019 12:39 am

Χαιρετώ την παρέα!. Αρκεί να κατασκευάσουμε την \widehat{CAS}=\omega .
Μισό...PNG
Μισό...PNG (10.87 KiB) Προβλήθηκε 612 φορές
Θεωρώ το F συμμετρικό του A ως προς την BC και AE \perp AF με AE=AB ενώ SI \perp  AB .

Τότε \sigma \varphi \omega =\dfrac{AT}{TS}=\dfrac{SI}{BS/2}=2\eta \mu B αλλά και \sigma \varphi \theta =\dfrac{AF}{AE}=\dfrac{2AH}{AB}=2\eta \mu B άρα \omega =\theta δηλ \widehat{CAS}=\widehat{EFA}.
Φιλικά , Γιώργος.
Υ.Γ Όπως τώρα διαπιστώνω, θεώρησα διαφορετικά δεδομένα . Πήρα S \in BC ..ST \perp AC με BS=2ST.. :? ..


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6667
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Μισό

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Ιαν 18, 2019 2:56 am

Παρατηρήσεις :

1. Η τετράδα (K,T\backslash D,C) είναι αρμονική

2. Η λύση γενικεύεται σε κάθε τρίγωνο .
Μισό τμήμα_γενίκευση.png
Μισό τμήμα_γενίκευση.png (16.06 KiB) Προβλήθηκε 600 φορές


Δηλαδή : αν έχω ένα τυχαίο τρίγωνο ABC και πάρω το E συμμετρικό του A ως προς τη BC , η δε διχοτόμος της \widehat {EAC} κόψει την BC στο D, τότε η

EDτέμνει την AC σε σημείο S για το οποίο AS = 2ST , όπου T η προβολή του S στην BC.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10765
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Μισό

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Ιαν 18, 2019 7:42 am

Μισό.png
Μισό.png (14.19 KiB) Προβλήθηκε 593 φορές
Απλά παρουσίασα το σχήμα στον αρχικό του προσανατολισμό ...


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8322
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μισό

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Ιαν 18, 2019 1:09 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Ιαν 17, 2019 8:38 pm
Μισό.pngΑπό σημείο S της κάθετης πλευράς AC , ορθογωνίου τριγώνου \displaystyle ABC , φέρουμε τμήμα ST

κάθετο προς την υποτείνουσα BC. Πως πρέπει να επιλέξουμε το S , ώστε AS=2ST ;

Θεωρήστε γνωστά τα b,c . Έχετε και την επιλογή της υπολογιστικής λύσης :ewpu:
Χρόνια Πολλά Θανάση!
Μισό.png
Μισό.png (7.08 KiB) Προβλήθηκε 565 φορές


\displaystyle CS \cdot CA = CT \cdot CB \Leftrightarrow b(b - 2x) = a\sqrt {{{(b - 2x)}^2} - {x^2}} .

Από αυτή τη σχέση και την a^2=b^2+c^2 παίρνω \boxed{x = \frac{{bc}}{{a + 2c}}}


p_gianno
Δημοσιεύσεις: 1044
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 1:10 am

Re: Μισό

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από p_gianno » Παρ Ιαν 18, 2019 3:10 pm

μισό.PNG
μισό.PNG (14.63 KiB) Προβλήθηκε 547 φορές
Φέρω ημιευθεία  Az έτσι ώστε zAC=B/2=\omega και την ημιευθεία Cy έτσι ώστε γωνBCy=ACB=\pi οι οποίες τέμνονται στο E. Η από του E κάθετος προς την  BC τέμνει τις BC και AC αντιστοίχως στα σημεία T και S όπου S το ζητούμενο σημείο.
Πράγματι από το ισοσκελές τργ SCE προκύπτει ET= ST (1) ενώ από το εγγράψιμο ASTB προκύπτει γων TSC=B=2\omega. Είναι επομένως τργ ASE ισοσκελές συνεπώς AS=SE (2).
Από (1) και (2) έπεται το ζητούμενο.
τελευταία επεξεργασία από p_gianno σε Παρ Ιαν 18, 2019 11:15 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8322
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μισό

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Ιαν 18, 2019 5:02 pm

Άλλη μία υπολογιστική.
Μισό.β..png
Μισό.β..png (10.01 KiB) Προβλήθηκε 527 φορές
Τα τρίγωνα CST, CAP είναι όμοια, \displaystyle \frac{{b - 2x}}{b} = \frac{x}{{\frac{{bc}}{a}}} \Leftrightarrow \boxed{x = \frac{{bc}}{{a + 2c}}}


Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1065
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Μισό

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Παρ Ιαν 18, 2019 11:54 pm

ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ στον ΘΑΝΑΣΗ , τον υπερπαραγωγό θεμάτων !! Αρκεί να κατασκευαστεί η \widehat{ABS}=x.
Μισό..KARKAR.PNG
Μισό..KARKAR.PNG (8.81 KiB) Προβλήθηκε 499 φορές
Είναι \eta \mu x=\dfrac{AS}{BS}=\dfrac{2ST}{BS}= 2\eta \mu y . Προς τούτο στην προέκταση της CB παίρνουμε BE=AB/2


τότε με τον Ν.Η: \dfrac{\eta \mu \theta }{\eta \mu \omega }=\dfrac{AB}{BE}=2=\dfrac{\eta \mu x}{\eta \mu y} ενώ  x+y=\widehat{B}=\omega +\theta . Άρα από γνωστή πρόταση \widehat{ABS}=x=\theta και y=\omega .
Φιλικά Γιώργος.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11358
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Μισό

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Ιαν 19, 2019 3:52 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Ιαν 17, 2019 8:38 pm
Μισό.pngΑπό σημείο S της κάθετης πλευράς AC , ορθογωνίου τριγώνου \displaystyle ABC , φέρουμε τμήμα ST

κάθετο προς την υποτείνουσα BC. Πως πρέπει να επιλέξουμε το S , ώστε AS=2ST ;

Θεωρήστε γνωστά τα b,c . Έχετε και την επιλογή της υπολογιστικής λύσης :ewpu:
Αφού είμαστε στον φάκελο των Διασκεδαστικών Μαθηματικών είναι νόμιμη και η εξής λύση, χωρίς κίνδυνο να φωνάξει κανείς:

Γράφουμε την υπερβολή με εστία A, διευθετούσα BC και εκκεντρότητα e=2. Π.χ. η κορυφή της είναι στο σημείο του ύψους από το A που το χωρίζει σε λόγο 2:1. Εκεί που η εν λόγω υπερβολή τέμνει την AC, είναι το ζητούμενο σημείο S.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης