Παρά τρίχα ( ή προβληματικό τρίκυκλο )

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10568
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Παρά τρίχα ( ή προβληματικό τρίκυκλο )

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Ιαν 19, 2019 11:08 am

Προβληματικό  τρίκυκλο.png
Προβληματικό τρίκυκλο.png (16.1 KiB) Προβλήθηκε 275 φορές
Επί της ακτίνας OA του μαύρου κύκλου , θεωρούμε σημεία K,P , ώστε : OK=2 , KP=1 , PA=2 .

Γράφουμε τον μπλε κύκλο (K,KA) , τον οποίο η κάθετη προς την KA στο P τέμνει στο T .

Α) Χαράξτε τον κόκκινο κύκλο (Q,4) , διερχόμενο από το T και εφαπτόμενο του μαύρου .

Β) Κάντε μια υπερπροσπάθεια να υπολογίσετε το μήκος της κοινής χορδή των εγχρώμων κύκλων .



Λέξεις Κλειδιά:
Altrian
Δημοσιεύσεις: 144
Εγγραφή: Τρί Μάιος 01, 2018 4:51 pm
Τοποθεσία: Βούλα, Αττική

Re: Παρά τρίχα ( ή προβληματικό τρίκυκλο )

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Altrian » Σάβ Ιαν 19, 2019 9:08 pm

Για το Α.
PT^{2}=PA*PD\Rightarrow PT^{2}=8.
Π.Θ. στο \bigtriangleup OTP\Rightarrow OT^{2}=TP^{2}+OP^{2}\Rightarrow OT^{2}=8+9=17
Γράφουμε τον κύκλο \left ( O,1 \right ) που προφανώς διέρχεται από το Q και φέρνουμε την TQ.
Στο \bigtriangleup QOT: QT^{2}=16=OT^{2}-OQ^{2}\Rightarrow \angle OQT=90. Δηλ. TQ εφάπτεται του (O,1) στο Q.
Επομένως ο ζητούμενος κύκλος \left ( Q,4 \right ) κατασκευάζεται αν βρούμε το κέντρο του Q το οποίο είναι το σημείο που εφάπτεται η εφαπτομένη από το T στον κύκλο \left ( O,1 \right ).


Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
Συνημμένα
para_trixa.png
para_trixa.png (66.06 KiB) Προβλήθηκε 242 φορές


Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7973
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Παρά τρίχα ( ή προβληματικό τρίκυκλο )

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Ιαν 21, 2019 10:28 am

KARKAR έγραψε:
Σάβ Ιαν 19, 2019 11:08 am

Β) Κάντε μια υπερπροσπάθεια να υπολογίσετε το μήκος της κοινής χορδή των εγχρώμων κύκλων .
Θεωρώ σύστημα συντεταγμένων με αρχή το O(0,0)
Παρά τρίχα.png
Παρά τρίχα.png (27.41 KiB) Προβλήθηκε 197 φορές
Ο μπλε κύκλος έχει εξίσωση \boxed{(x-2)^2+y^2=9} (1) Εύκολα βρίσκω T(3,2\sqrt 2). Το Q είναι το σημείο τομής των κύκλων

(T,4) και (O,1). Άρα: \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
{(x - 3)^2} + {(y - 2\sqrt 2 )^2} = 16\\ 
{x^2} + {y^2} = 1 
\end{array} \right. \Rightarrow Q\left( {\frac{{3 - 8\sqrt 2 }}{{17}},\frac{{2\sqrt 2  + 12}}{{17}}} \right)

(Υπάρχουν δύο τέτοια σημεία, αλλά μας ενδιαφέρει αυτό που είναι στο σχήμα του θεματοδότη). Ο κόκκινος κύκλος έχει εξίσωση:

\boxed{{\left( {x - \frac{{3 - 8\sqrt 2 }}{{17}}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{{2\sqrt 2  + 12}}{{17}}} \right)^2} = 16} (2) Λύνοντας το σύστημα των (1) και (2) βρίσκω το δεύτερο κοινό

σημείο των κύκλων \displaystyle S\left( {\frac{{9555 - 4400\sqrt 2 }}{{3281}}, - \frac{{4510\sqrt 2  + 2920}}{{3281}}} \right). Από \displaystyle ST = \sqrt {{{({x_S} - {x_T})}^2} + {{({y_S} - {y_T})}^2}}

βρίσκω \boxed{ST = \sqrt {\frac{{64(1393 + 320\sqrt 2 )}}{{3281}}}  \simeq 5,99997} Αν αυτό δεν είναι παρά τρίχα διάμετρος, τότε τι είναι; :lol:

Θανάση πάντα μ' εντυπωσιάζεις με την ευρηματικότητά σου :clap2: :clap2:


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10568
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Παρά τρίχα ( ή προβληματικό τρίκυκλο )

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Ιαν 21, 2019 2:22 pm

Γιώργο , μην φανταστείς κάποιο σατανικό σχέδιο : Το βασικό ζητούμενο της άσκησης

ήταν το κέντρο Q . Σχεδιάζοντας τον κύκλο και θέλοντας να προσθέσω ένα ακόμη

ερώτημα , δοκίμασα την κοινή χορδή , η οποία έδειχνε να περνά από το K . Αμ δε !

Αναγκάστηκα λοιπόν να την υπολογίσω ( με τον ίδιο ακριβώς τρόπο ) και μια τέτοια

"θεϊκή " προσέγγιση δεν επιτρέπεται να μείνει αναξιοποίητη . ( TS=5.99997698.. )


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ και 1 επισκέπτης