Παρά τρίχα ( ή προβληματικό τρίκυκλο )

KARKAR · #1

: Προβληματικό τρίκυκλο.png (16.1 KiB) Προβλήθηκε 484 φορές

Επί της ακτίνας

του μαύρου κύκλου , θεωρούμε σημεία K,P

, ώστε :

.

Γράφουμε τον μπλε κύκλο (K,KA)

, τον οποίο η κάθετη προς την

στο

τέμνει στο

.

Α) Χαράξτε τον κόκκινο κύκλο (Q,4)

, διερχόμενο από το

και εφαπτόμενο του μαύρου .

Β) Κάντε μια υπερπροσπάθεια να υπολογίσετε το μήκος της κοινής χορδή των εγχρώμων κύκλων .

Altrian · #2

Για το Α.
$PT^{2}=PA*PD\Rightarrow PT^{2}=8$ .
Π.Θ. στο $\bigtriangleup OTP\Rightarrow OT^{2}=TP^{2}+OP^{2}\Rightarrow OT^{2}=8+9=17$
Γράφουμε τον κύκλο $\left ( O,1 \right )$ που προφανώς διέρχεται από το

και φέρνουμε την

.
Στο $\bigtriangleup QOT: QT^{2}=16=OT^{2}-OQ^{2}\Rightarrow \angle OQT=90$ . Δηλ.

εφάπτεται του (O,1)

στο

.
Επομένως ο ζητούμενος κύκλος $\left ( Q,4 \right )$ κατασκευάζεται αν βρούμε το κέντρο του

το οποίο είναι το σημείο που εφάπτεται η εφαπτομένη από το

στον κύκλο $\left ( O,1 \right )$ .

Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 19, 2019 11:08 am

Β) Κάντε μια υπερπροσπάθεια να υπολογίσετε το μήκος της κοινής χορδή των εγχρώμων κύκλων .

Θεωρώ σύστημα συντεταγμένων με αρχή το O(0,0)

: Παρά τρίχα.png (27.41 KiB) Προβλήθηκε 406 φορές

Ο μπλε κύκλος έχει εξίσωση $\boxed{(x-2)^2+y^2=9}$ (1)

Εύκολα βρίσκω $T(3,2\sqrt 2).$ Το

είναι το σημείο τομής των κύκλων

(T,4)

και

Άρα: $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} {(x - 3)^2} + {(y - 2\sqrt 2 )^2} = 16\\ {x^2} + {y^2} = 1 \end{array} \right. \Rightarrow Q\left( {\frac{{3 - 8\sqrt 2 }}{{17}},\frac{{2\sqrt 2 + 12}}{{17}}} \right)$

(Υπάρχουν δύο τέτοια σημεία, αλλά μας ενδιαφέρει αυτό που είναι στο σχήμα του θεματοδότη). Ο κόκκινος κύκλος έχει εξίσωση:

$\boxed{{\left( {x - \frac{{3 - 8\sqrt 2 }}{{17}}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{{2\sqrt 2 + 12}}{{17}}} \right)^2} = 16}$ (2)

Λύνοντας το σύστημα των (1)

και

βρίσκω το δεύτερο κοινό

σημείο των κύκλων $\displaystyle S\left( {\frac{{9555 - 4400\sqrt 2 }}{{3281}}, - \frac{{4510\sqrt 2 + 2920}}{{3281}}} \right).$ Από $\displaystyle ST = \sqrt {{{({x_S} - {x_T})}^2} + {{({y_S} - {y_T})}^2}}$

βρίσκω $\boxed{ST = \sqrt {\frac{{64(1393 + 320\sqrt 2 )}}{{3281}}} \simeq 5,99997}$ Αν αυτό δεν είναι παρά τρίχα διάμετρος, τότε τι είναι;

Θανάση πάντα μ' εντυπωσιάζεις με την ευρηματικότητά σου

KARKAR · #4

Γιώργο , μην φανταστείς κάποιο σατανικό σχέδιο : Το βασικό ζητούμενο της άσκησης

ήταν το κέντρο

. Σχεδιάζοντας τον κύκλο και θέλοντας να προσθέσω ένα ακόμη

ερώτημα , δοκίμασα την κοινή χορδή , η οποία έδειχνε να περνά από το

. Αμ δε !

Αναγκάστηκα λοιπόν να την υπολογίσω ( με τον ίδιο ακριβώς τρόπο ) και μια τέτοια

"θεϊκή " προσέγγιση δεν επιτρέπεται να μείνει αναξιοποίητη . ( TS=5.99997698..

)

Παρά τρίχα ( ή προβληματικό τρίκυκλο )

Παρά τρίχα ( ή προβληματικό τρίκυκλο )

Re: Παρά τρίχα ( ή προβληματικό τρίκυκλο )

Re: Παρά τρίχα ( ή προβληματικό τρίκυκλο )

Re: Παρά τρίχα ( ή προβληματικό τρίκυκλο )

Μέλη σε σύνδεση