Μη παράλληλες

KARKAR · #1

: Μη παράλληλες.png (5.98 KiB) Προβλήθηκε 482 φορές

Τραπέζιο

έχει σταθερών μηκών βάσεις και ύψος αλλά η μία βάση του μπορεί να μετακινείται .

Δημιουργήστε συνάρτηση , η οποία να υπολογίζει το άθροισμα των μη παράλληλων πλευρών .

Βρείτε το ελάχιστο αυτής της ποσότητας . Για απλότητα : BC=9 , AD=6 , DD'=4

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 29, 2019 8:32 pm
Μη παράλληλες.pngΤραπέζιο έχει σταθερών μηκών βάσεις και ύψος αλλά η μία βάση του μπορεί να μετακινείται .

Δημιουργήστε συνάρτηση , η οποία να υπολογίζει το άθροισμα των μη παράλληλων πλευρών .

Βρείτε το ελάχιστο αυτής της ποσότητας . Για απλότητα : .

Αν $AD=a, \, BC=b, \, DD'=h, \, D'C=x$ τότε (άμεσο) $CD+AB = \sqrt {h^2+x^2} + \sqrt {h^2+ (b-a-x)^2}$ .

Από την ανισότητα (απλή και γνωστή, ισοδύναμη της Cauchy-Schwarz) $\sqrt {p^2+q^2} + \sqrt {r^2+ s^2} \ge \sqrt {(p+r)^2+ (q+s)^2}$ με ισότητα αν και μόνον αν ps=rq

η παραπάνω παράσταση είναι $\ge \sqrt {(2h)^2+ (b-a)^2}$ με ισότητα αν x=(b-a)/2

.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 29, 2019 8:32 pm
Μη παράλληλες.pngΤραπέζιο έχει σταθερών μηκών βάσεις και ύψος αλλά η μία βάση του μπορεί να μετακινείται .

Δημιουργήστε συνάρτηση , η οποία να υπολογίζει το άθροισμα των μη παράλληλων πλευρών .

Βρείτε το ελάχιστο αυτής της ποσότητας . Για απλότητα : .

Αλλιώς για το (β)

Με $\displaystyle DE//AB \Rightarrow BE = 6,EC = 3$

Το τρίγωνο $\displaystyle DEC$ έχει σταθερή βάση $\displaystyle EC$ και σταθερό προς αυτή ύψος.

Επομένως,η περίμετρός του $\displaystyle \left( {x{\text{ }} + {\text{ }}y{\text{ }} + {\text{ }}3} \right)$ ](άρα και το $\displaystyle x + y$ )γίνεται ελάχιστη όταν είναι ισοσκελές(γιατί?)

Τότε όμως το τραπέζιο θα είναι ισοσκελές και $\displaystyle EZ = \frac{3}{2}$ ,άρα $\displaystyle x = \frac{{\sqrt {73} }}{2} \Rightarrow \boxed{{{\left( {x + y} \right)}_{\min }} = \sqrt {73} }$

: μη παράλληλες.png (7.85 KiB) Προβλήθηκε 425 φορές

Μη παράλληλες

Μη παράλληλες

Re: Μη παράλληλες

Re: Μη παράλληλες

Μέλη σε σύνδεση