Ο Οδυσσέας και το εμβαδόν τριγώνου

Γιώργος Μήτσιος · #1

Χαίρετε! Ο (πολυμήχανος) Οδυσσέας από τη συλλογή << Θέματα με ποικιλία λύσεων>> θέλησε να ασχοληθεί με το πρόβλημα που ακολουθεί:

: Ο Οδυσσέας και το εμβαδόν τριγώνου.PNG (8.68 KiB) Προβλήθηκε 965 φορές

Το

είναι ύψος του τριγώνου ABC

με

. Στην προέκταση της

παίρνουμε

.

Αν η

είναι κάθετη στην

τότε : Να υπολογιστεί ποικιλοτρόπως το (ABC)

Μπορούμε να δείξουμε στον Οδυσσέα ένα ...

...ακόμη τρόπο εύρεσης του εν λόγω εμβαδού ;
Ευχαριστώ , Γιώργος.

#2

Αν

μέσο του

θα είναι

και άρα το $\vartriangle AMC$ είναι κι αυτό ισοσκελές ορθογώνιο με βάση MC = 2

.

: Ο οδυσσέας και το τρίγωνο.png (11.9 KiB) Προβλήθηκε 939 φορές

$(ABC) = \dfrac{{BC \cdot AD}}{2} = \dfrac{3}{2}$ .

Αλλιώς : $(ADC) = \dfrac{1}{2}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(ADC) = (ADM) = (ABM)$ . Άρα $(ABC) = \dfrac{3}{2}$

Αλλιώς: $(ABC) = \dfrac{1}{2}CA \cdot CB \cdot \sin C = \dfrac{1}{2}\sqrt 2 \cdot 3\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{3}{2}$

KARKAR · #3

: Εμβαδόν.png (10.03 KiB) Προβλήθηκε 929 φορές

Φέροντας $ES\perp BC$ είναι : BAD=ECS

...

#4

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 16, 2019 12:35 am
Χαίρετε! Ο (πολυμήχανος) Οδυσσέας από τη συλλογή << Θέματα με ποικιλία λύσεων>> θέλησε να ασχοληθεί με το πρόβλημα που ακολουθεί:
Ο Οδυσσέας και το εμβαδόν τριγώνου.PNG
Το είναι ύψος του τριγώνου με . Στην προέκταση της παίρνουμε .

Αν η είναι κάθετη στην τότε : Να υπολογιστεί ποικιλοτρόπως το

Μπορούμε να δείξουμε στον Οδυσσέα ένα ... ...ακόμη τρόπο εύρεσης του εν λόγω εμβαδού ;
Ευχαριστώ , Γιώργος.

: Οδυσσέας.png (11.37 KiB) Προβλήθηκε 929 φορές

$\displaystyle \bullet$ Φέρνω το ύψος

του τριγώνου EBC.

Είναι

(το τρίγωνο EHD

είναι ορθογώνιο και ισοσκελές)

και BD=DH=2.

Άρα $\displaystyle (ABC) = \frac{3}{2}$

Με πρόλαβε ο Θανάσης...

$\displaystyle \bullet$ Αλλιώς, $\displaystyle (ABC) = (EAC) = (EADC) - (ADC) = 2(ECD) - (ADC) = 2\left( {\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2} \right) - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

Ιστοσελίδα · #5

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 16, 2019 12:35 am
Χαίρετε! Ο (πολυμήχανος) Οδυσσέας από τη συλλογή << Θέματα με ποικιλία λύσεων>> θέλησε να ασχοληθεί με το πρόβλημα που ακολουθεί:

Το είναι ύψος του τριγώνου με . Στην προέκταση της παίρνουμε .

Αν η είναι κάθετη στην τότε : Να υπολογιστεί ποικιλοτρόπως το

Μπορούμε να δείξουμε στον Οδυσσέα ένα ... ...ακόμη τρόπο εύρεσης του εν λόγω εμβαδού ;
Ευχαριστώ , Γιώργος.

Καλημέρα!

: shape.png (15.75 KiB) Προβλήθηκε 918 φορές

Με

βρίσκουμε $(ABC) = \dfrac{3}{2}$

#6

Καλημέρα σε όλους. Τρεις ακόμα λύσεις. Η πρώτη (γεωμετρική) μιμείται τους προηγηθέντες. Η δεύτερη (με συντεταγμένες) κρύβει επιμελώς τον ίδιο πυρήνα και η τρίτη (τριγωνομετρική), αν και λιγότερο κομψή, δεν χρησιμοποιεί βοηθητικές. Θα πείτε: "και αυτό το βρίσκεις καλό και πρέπον;". "Όχι αναγκαστικά, απλά πειραματιζόμαστε με τις δυνατότητες των εργαλείων".

Γεωμετρική λύση:

: 16-02-2019 Γεωμετρία.jpg (33.67 KiB) Προβλήθηκε 915 φορές

Είναι $\displaystyle \widehat {EDZ} = 45^\circ$ άρα EZ=DZ=a

. Από Θ. Θαλή για AD//EZ

είναι

. Από την ομοιότητα BAD, BEZ

είναι , άρα $\displaystyle \left( {ABC} \right) = \frac{{3 \cdot 1}}{2} = \frac{3}{2}$ .

Αναλυτική λύση:

: 16-02-2019 Γεωμετρία b.jpg (41 KiB) Προβλήθηκε 915 φορές

Έστω

, οπότε

και αφού

, θα είναι E(a, a)

, οπότε, αν Ζ(α, 0)

η προβολή του στον x’x

, από την ομοιότητα BAD, BEZ

είναι $\displaystyle \frac{{EZ}}{{AD}} = \frac{{BZ}}{{BD}} \Leftrightarrow \frac{a}{1} = \frac{{2a}}{a} \Leftrightarrow a = 2$ , άρα $\displaystyle \left( {ABC} \right) = \frac{{3 \cdot 1}}{2} = \frac{3}{2}$

Τριγωνομετρική λύση:

: 16-02-2019 Γεωμετρία c.jpg (32.61 KiB) Προβλήθηκε 915 φορές

H $\displaystyle \widehat {EDC} = 45^\circ$ είναι εξωτερική στο BDE

άρα $\displaystyle \widehat B = \varphi ,\;\;\widehat {\rm E} = 45^\circ - \varphi$ .

Έστω

μέσο του $\displaystyle AC = \sqrt 2$ ,άρα $\displaystyle AK = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$ .

Έστω AB=AE=t

. Στο

$\displaystyle \eta \mu \varphi = \frac{1}{t}$ και στο AEK

$\displaystyle \eta \mu \left( {45^\circ - \varphi } \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{{2t}}$

Οπότε $\displaystyle \frac{1}{{\eta \mu \varphi }} = \frac{{\sqrt 2 }}{{2\eta \mu \left( {45^\circ - \varphi } \right)}} \Leftrightarrow 2 \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {\sigma \upsilon \nu \varphi - \eta \mu \varphi } \right) = \sqrt 2 \eta \mu \varphi \Leftrightarrow \varepsilon \varphi \varphi = \frac{1}{2}$ , οπότε $\displaystyle BD = 2$ , άρα $\displaystyle \left( {ABC} \right) = \frac{{3 \cdot 1}}{2} = \frac{3}{2}$ .

STOPJOHN · #7

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 16, 2019 12:35 am
Χαίρετε! Ο (πολυμήχανος) Οδυσσέας από τη συλλογή << Θέματα με ποικιλία λύσεων>> θέλησε να ασχοληθεί με το πρόβλημα που ακολουθεί:
Ο Οδυσσέας και το εμβαδόν τριγώνου.PNG
Το είναι ύψος του τριγώνου με . Στην προέκταση της παίρνουμε .

Αν η είναι κάθετη στην τότε : Να υπολογιστεί ποικιλοτρόπως το

Μπορούμε να δείξουμε στον Οδυσσέα ένα ... ...ακόμη τρόπο εύρεσης του εν λόγω εμβαδού ;
Ευχαριστώ , Γιώργος.

Κατασκευάζω το πραλληλόγραμμο BDEH

και $IA=AJ=IC=\dfrac{\sqrt{2}}{2},JC\perp BH,$

Από το εγράψιμο τετράπλευρο $ADBJ,CA.CJ=CD.CB\Rightarrow BD=2,BJ=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$

Οπότε $(ABC)=\dfrac{1}{2}.3.1=\dfrac{3}{2}$

Αλλιώς
$(ABC)=\dfrac{1}{2}AC.BJ=\dfrac{3.\sqrt{2}.\sqrt{2}}{4}=\dfrac{3}{2}$

Γιάννης

Γιώργος Μήτσιος · #8

Καλό βράδυ σε όλους.Να ευχαριστήσω θερμά τους Νίκο, Θανάση, Γιώργο , Μιχάλη , Γιώργο και Γιάννη για τις ωραίες και πολλαπλές λύσεις!

Ακόμη μία : Όπως έδειξε και ο Γιώργος στην εφαρμογή του θέματος ΑΥΤΟΥ ισχύει (με τα γράμματα όπως στο παρόν) $BD\cdot DC=2AD^{2}$ .
Είναι AD=DC=1

συνεπώς

και

.

Τέλος ας μου επιτραπεί να ..επικαλύψουμε και το παρόν θέμα με λίγο πολύτιμο μέταλλο.

: Οδυσσέας 2.PNG (8.06 KiB) Προβλήθηκε 833 φορές

Στο νέο σχήμα παίρνουμε AZ=1

και

το μέσο του

. Αρκεί να υπολογίσουμε τους λόγους $\dfrac{BZ}{BD}$ και $\dfrac{AZ}{ZM}$ ... $\Phi$ ιλικά , Γιώργος.

Γιώργος Μήτσιος · #9

Καλημέρα σε όλους.Έλαβα μία ακόμη λύση σε π.μ από τον κ. Γεώργιο Μπάφα τον οποίο και ευχαριστώ!
Προσθέτω το σχήμα και τους σχετικούς συμβολισμούς αποδίδοντας -ελπίζω πιστά- το νόημα της λύσης που έλαβα.

: Ο Οδυσσέας ..Λύση Γ. Μπάφα.PNG (8.22 KiB) Προβλήθηκε 630 φορές

Έστω $ED \perp AC$ . Με το DAC

ισοσκελές προκύπτει EC=AE=AB=k

. Θέτουμε και BD=x

.

Με το Πυθαγόρειο παίρνουμε $AC^{2}=2$ και $k^{2}=x^{2}+1$ .

Από το α' θεώρημα διαμέσων στο τρίγωνο BCE

έχουμε $BC^{2}+CE^{2}=2AC^{2}+2AE^{2}\Rightarrow$

$\left ( x+1 \right )^{2}+k^{2}=2\cdot 2+2k^{2}\Rightarrow \left ( x+1 \right )^{2}=4+x^{2}+1 \Leftrightarrow ..BD=x=2$ και τελικά $\left ( ABC \right )=\dfrac{BC\cdot AD}{2}=\dfrac{3}{2}$
Φιλικά, Γιώργος.

Ο Οδυσσέας και το εμβαδόν τριγώνου

Ο Οδυσσέας και το εμβαδόν τριγώνου

Re: Ο Οδυσσέας και το εμβαδόν τριγώνου

Re: Ο Οδυσσέας και το εμβαδόν τριγώνου

Re: Ο Οδυσσέας και το εμβαδόν τριγώνου

Re: Ο Οδυσσέας και το εμβαδόν τριγώνου

Re: Ο Οδυσσέας και το εμβαδόν τριγώνου

Re: Ο Οδυσσέας και το εμβαδόν τριγώνου

Re: Ο Οδυσσέας και το εμβαδόν τριγώνου

Re: Ο Οδυσσέας και το εμβαδόν τριγώνου

Μέλη σε σύνδεση