Μαγικό τετράγωνο 4x4

[Γιώργος Ρίζος]

Στο παρακάτω τετράγωνο 4x4 επιλέγουμε τυχαία έναν αριθμό και διαγράφουμε τους αριθμούς της γραμμής και στήλης στην οποίαν ανήκει. Επαναλαμβάνουμε άλλες τρεις φορές με τους εναπομείναντες αριθμούς (όπως βλέπετε στο παρακάτω παράδειγμα). Προσθέστε τους και αποδείξτε ότι πάντα προκύπτει το ίδιο άθροισμα.

Μαγικό τετράγωνο 4x4.jpg (30.5 KiB) Προβλήθηκε 627 φορές

Έχω βρει μια απάντηση. Δεν ξέρω αν είναι η "επίσημη". Θα ήθελα να δω και άλλες ιδέες.

[Mihalis_Lambrou]

Στο παρακάτω τετράγωνο 4x4 επιλέγουμε τυχαία έναν αριθμό και διαγράφουμε τους αριθμούς της γραμμής και στήλης στην οποίαν ανήκει. Επαναλαμβάνουμε άλλες τρεις φορές με τους εναπομείναντες αριθμούς (όπως βλέπετε στο παρακάτω παράδειγμα). Προσθέστε τους και αποδείξτε ότι πάντα προκύπτει το ίδιο άθροισμα.

Έχω βρει μια απάντηση. Δεν ξέρω αν είναι η "επίσημη". Θα ήθελα να δω και άλλες ιδέες.

Γιώργο, στα Θερινά Σχολεία για παιδιά που κάνω, διδάσκω κάτι πιο γενικό. Βάζω εκεί τους μαθητές να ανακαλύψουν, με καθοδήγηση, τρεις διαφορετικούς τρόπους απόδειξης και κατασκευής τέτοιων μαγικών πινάκων (οποιασδήποτε διάστασης και οποιουδήποτε μαγικού αθροίσματος).

Επισυνάπτω το κείμενο που τους μοιράζω. Δεν έχει πάρα πολλά λόγια (τα λέω προφορικά) αλλά πιστεύω ότι μπορεί κανείς να βγάλει άκρη.

Με αφορμή το επισυναπτόμενο, κάνουμε και πολλές ωραίες σχετικές ασκήσεις που ενθουσιάζουν τα παιδιά (Δημοτικό, Γυμνάσιο, Λύκειο).

Δεν έχω χρόνο για περισσότερα σχόλια εδώ, τώρα, γιατί έχω ΠΑΡΑ πολύ φόρτο εργασίας, προετοιμάζοντας αυτόν τον καιρό τον διαγωνισμό Καγκουρό.

[ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ]

Καλησπέρα!

Βάζουμε συντεταγμένες στους αριθμούς.

Αναγκαστικά και οι τέσσερις αριθμοί βρίσκονται σε διαφορετική στήλη και γραμμή.

Εύκολα βλέπουμε ότι αν αριθμός του πίνακα τότε
Όμως αφού στο άθροισμα θα υπάρχουν και οι τέσσερις τιμές του και του το άθροισμα θα είναι πάντα το ίδιο και ίσο με

Έβγαζα 32 λόγω λανθασμένων πράξεων

[KDORTSI]

Παλαιότερα έγινε μια συζήτηση στο χώρο αυτό.

Δείτε στο σύνδεσμο:

viewtopic.php?f=19&t=20313&p=102307&hil ... B1#p102307

Κώστας Δόρτσιος

[Γιώργος Ρίζος]

Σάς ευχαριστώ όλους για τις άμεσες απαντήσεις.

Με το θέμα θα ασχοληθούμε στη Μαθηματική ομάδα του Γυμνασίου μας την Τρίτη 19-2.

Ούτε που θυμόμουν την παρόμοια συζήτηση που μάς υπενθύμισε ο Κώστας.

Η λύση μου στο πρόβλημα που έθεσα είναι κάπως διαφορετική, θα έλεγα απλοϊκή.


Οι αριθμοί της πρώτης στήλης έχουν άθροισμα . Όποιους αριθμούς και να επιλέξουμε από κάθε γραμμή, θα βρίσκονται από ένας σε κάθε στήλη, άρα θα απέχουν αθροιστικά από τους αριθμούς της 1ης στήλης μονάδες, άρα θα έχουν πάντα άθροισμα .


Θα ξαναδώ τη λύση του Πρόδρομου, γιατί το αποτέλεσμα πρέπει να βγει κι όχι .

[Mihalis_Lambrou]

Οι αριθμοί της πρώτης στήλης έχουν άθροισμα . Όποιους αριθμούς και να επιλέξουμε από κάθε γραμμή, θα βρίσκονται από ένας σε κάθε στήλη, άρα θα απέχουν αθροιστικά από τους αριθμούς της 1ης στήλης μονάδες, άρα θα έχουν πάντα άθροισμα .

Γιώργο, αυτό που γράφεις είναι ειδική περίπτωση της δεύτερης απόδειξης που έχω για τα μαγικά αυτά τετράγωνα, στο παραπάνω συνημμένο.
Στην γενικότερη περίπτωση που γράφω, οι όροι κάθε στήλης απέχουν σταθερή ποσότητα από τους αντίστοιχους όρους στις διπλανές στήλες (η σταθερά εξαρτάται από τις στήλες). Στο τετράγωνο που παραθέτεις η σταθερή ποσότητα είναι πάντα η ίδια (= 1). Αυτό που μετράει είναι ότι πρόκειται για σταθερή διαφορά.