Ο κοιλόπονος του πρεσβύωπα

KARKAR · #1

Δείξτε - χωρίς χρήση υπολογιστικού μέσου ή μιγαδικών αριθμών - ότι :

$\sqrt{3}<3e^{-\frac{\pi}{6}}$ ... ( Ο εκθέτης , αγαπητέ πρεσβύωπα , είναι το $-\dfrac{\pi}{6}$ )

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 23, 2019 7:23 pm
Δείξτε - χωρίς χρήση υπολογιστικού μέσου ή μιγαδικών αριθμών - ότι :

$\sqrt{3}<3e^{-\frac{\pi}{6}}$ ... ( Ο εκθέτης , αγαπητέ πρεσβύωπα , είναι το $-\dfrac{\pi}{6}$ )

Δεν ξέρω τι μπορεί να θεωρηθεί γνωστό κατά την άποψη του θεματοδότη. Αν π.χ θεωρηθεί γνωστό ότι $\displaystyle 1,09 < \ln 3 < 1,1$

τότε εύκολα η δοθείσα ανισότητα μετατρέπεται στην $\displaystyle \ln 3 > \frac{\pi }{3}$ που είναι φανερό ότι ισχύει.

KARKAR · #3

Γιώργο είναι μια άσκηση ανάλυσης . Ούτε το $\sqrt{3}$ θεωρείται γνωστό

KARKAR · #4

Θα γράψω τη μισή λύση : Έχουμε : $\sqrt{3}<3e^{-\frac{\pi}{6}}\Leftarrow \dfrac{\sqrt{3}}{3}<e^{-\frac{\pi}{6}}\Leftarrow \tan\dfrac{\pi}{6}<e^{-\frac{\pi}{6}}$ .

Τα δύο μέλη της ανισότητας είναι θετικά και λογαριθμίζοντας , έχουμε : $\ln(\tan\dfrac{\pi}{6})<-\dfrac{\pi}{6}$ .

Θεωρώ τώρα τη συνάρτηση : $f(x)=\ln(\tan x ), x\in(0,\dfrac{\pi}{2})$ ..........................

KARKAR · #5

Ας την τελειώσω : Είναι : $f'(x)=\tan x+\dfrac{1}{\tan x}$ και $f''(x)=\dfrac{\sin^2x-\cos^2x}{(\sin x \cos x)^2}$ .

Εύκολα διαπιστώνουμε ότι η

είναι κοίλη στο $(0,\dfrac{\pi}{4}]$ , συνεπώς η $C_{f}$ βρίσκεται

κάτω από την εφαπτομένη της στο $A(\dfrac{\pi}{4} ,0)$ , η οποία επίσης εύκολα βρίσκουμε ότι είναι

η : $g(x)=2x-\dfrac{\pi}{2}$ . Έτσι για $x=\dfrac{{\pi}}{6}\in(0,\dfrac{{\pi}}{4})$ , είναι : $f(\dfrac{{\pi}}{6})<g(\dfrac{{\pi}}{6})$ ,

δηλαδή : $\ln\tan\dfrac{\pi}{6}<-\dfrac{{\pi}}{6}$ , που είναι το ζητούμενο

Ο κοιλόπονος του πρεσβύωπα

Ο κοιλόπονος του πρεσβύωπα

Re: Ο κοιλόπονος του πρεσβύωπα

Re: Ο κοιλόπονος του πρεσβύωπα

Re: Ο κοιλόπονος του πρεσβύωπα

Re: Ο κοιλόπονος του πρεσβύωπα

Μέλη σε σύνδεση