Αριθμητική από άλλους κλάδους των μαθηματικών

KARKAR · #1

Αν σας ζητήσω να βρείτε τρεις θετικούς αριθμούς a,b,c

για τους οποίους να ισχύει :

a+b+c=abc

, σίγουρα θα βρείτε ένα απλό παράδειγμα και πιθανότατα

θα μπορέσετε να υποδείξετε και έναν τρόπο "παραγωγής" τέτοιων αριθμών .

Μπορείτε όμως να βρείτε τρεις a,b,c

για τους οποίους να είναι : a+b+c=abc-2

;

Αν τώρα σας ζητήσω να υποδείξετε τρόπο "παραγωγής τους" , τα πράγματα περιπλέκονται .

Βρήκα μια τέτοια τριάδα , τους : $\dfrac{21}{20} , \dfrac{26}{15} , \dfrac{35}{6}$ και σας υπόσχομαι ότι υπάρχουν άπειρες

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 28, 2019 9:58 am
Αν σας ζητήσω να βρείτε τρεις θετικούς αριθμούς για τους οποίους να ισχύει :

, σίγουρα θα βρείτε ένα απλό παράδειγμα και πιθανότατα

θα μπορέσετε να υποδείξετε και έναν τρόπο "παραγωγής" τέτοιων αριθμών .

Μπορείτε όμως να βρείτε τρεις για τους οποίους να είναι : ;

Αν τώρα σας ζητήσω να υποδείξετε τρόπο "παραγωγής τους" , τα πράγματα περιπλέκονται .

Βρήκα μια τέτοια τριάδα , τους : $\dfrac{21}{20} , \dfrac{26}{15} , \dfrac{35}{6}$ και σας υπόσχομαι ότι υπάρχουν άπειρες

Νομίζω ότι η πιο απλή τριάδα είναι (a,b,c)=(1,2,5).

Αν θέσω αυθαίρετες τιμές των a,b

στον τύπο $\displaystyle c = \frac{{a + b + 2}}{{ab - 1}}, ab\ne 1,$ προσδιορίζω τον

KARKAR · #3

Η απάντηση του Γιώργου , αν και ορθή , βρίσκεται πολύ μακριά από το πνεύμα του φακέλου

Θα περίμενα μιαν απάντηση , κάπως έτσι : Στο πρώτο ερώτημα : Μια προφανής λύση είναι η (1,2,3)

Για να βρείτε άλλες , σχεδιάστε ένα οξυγώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ . Τότε :

$\tan A+\tan B+\tan C=\tan A\cdot\tan B\cdot\tan C$ .

: Άλλοι κλάδοι.png (12.98 KiB) Προβλήθηκε 500 φορές

Στο δεύτερο : Μια προφανής λύση είναι η (1,2,5)

. Για να βρείτε άλλες , θέσατε :

$a=\dfrac{AS}{SA'} , b=\dfrac{BS}{SB'} , c=\dfrac{CS}{SC'}$ , στις σεβιανές του σχήματος .

Φυσικά η πρόταση θεωρείται γνωστή , αλλά αν έχετε κουράγιο αποδείξτε τη

Το παράδειγμα που σας έδωσα , είναι με τα συγκεκριμένα νούμερα του σχήματος

Η πρόταση : $\dfrac{AS}{SA'}+\dfrac{BS}{SB'} +\dfrac{CS}{SC'} +2 =\dfrac{AS}{SA'} \cdot\dfrac{BS}{SB'} \cdot\dfrac{CS}{SC'}$

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 28, 2019 3:00 pm

Φυσικά η πρόταση θεωρείται γνωστή , αλλά αν έχετε κουράγιο αποδείξτε τη

....

Η πρόταση : $\dfrac{AS}{SA'}+\dfrac{BS}{SB'} +\dfrac{CS}{SC'} +2 =\dfrac{AS}{SA'} \cdot\dfrac{BS}{SB'} \cdot\dfrac{CS}{SC'}$

H απόδειξη από τη Φωτεινή Καλδή βρίσκεται παρακάτω
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 12&t=19783

Αριθμητική από άλλους κλάδους των μαθηματικών

Αριθμητική από άλλους κλάδους των μαθηματικών

Re: Αριθμητική από άλλους κλάδους των μαθηματικών

Re: Αριθμητική από άλλους κλάδους των μαθηματικών

Re: Αριθμητική από άλλους κλάδους των μαθηματικών

Μέλη σε σύνδεση