Το λακωνίζειν εστί φιλοσοφείν

KARKAR · #1

: Το λακωνίζειν εστί φιλοσοφείν.png (9.78 KiB) Προβλήθηκε 817 φορές

Το ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , έχει κάθετες πλευρές AB=8

και

.

Επί της διχοτόμου

κινείται σημείο

. Βρείτε την ελάχιστη τιμή του λόγου $\dfrac{SA}{SB}$ .

#2

Το λακωνίζειν εστί φιλοσοφείν

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 14, 2019 9:38 am
Το λακωνίζειν εστί φιλοσοφείν.pngΤο ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , έχει κάθετες πλευρές και .

Επί της διχοτόμου κινείται σημείο . Βρείτε την ελάχιστη τιμή του λόγου $\dfrac{SA}{SB}$ .

Το

είναι το έγκεντρο και $\dfrac{SA}{SB}=\dfrac{1}{\sqrt 5}.$

Νομίζω, λόγω τίτλου, ότι δεν χρειάζονται άλλα λόγια

Βλέπω ότι με πρόλαβε ο Γιώργος Ρίζος με λιγότερα λόγια.

KARKAR · #4

Κύριοι , μιλάμε για μικρό λόγο , όχι για μικρή ( έως ανύπαρκτη ) δικαιολόγηση

#5

Ας γράψουμε δυο λόγια...

: Το λακωνίζειν...png (16.33 KiB) Προβλήθηκε 760 φορές

$\displaystyle \frac{x}{y} = \frac{5}{3} \Leftrightarrow$ $\boxed{y=\frac{3x}{5}}$ (1)

Με Π.Θ στο AES

και ν. συνημιτόνων στο BZS:

$\displaystyle S{A^2} = 5{y^2} - 24y + 36\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)}$ $\boxed{S{A^2} = \frac{{9{x^2} - 72x + 180}}{5}}$ και $\boxed{S{B^2} = \frac{{9{x^2} - 120x + 500}}{5}}$

Εύκολα, $\displaystyle \frac{{S{A^2}}}{{S{B^2}}} \ge \frac{1}{5} \Leftrightarrow 4{(3x - 10)^2} \ge 0 \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{{SA}}{{SB}} \ge \frac{1}{{\sqrt 5 }}}$ με την ισότητα να ισχύει για $x=\dfrac{10}{3}.$

Τότε όμως τα τρίγωνα AES, BZS

είναι ισοσκελή και το

έγκεντρο.

Μήπως έγραψα περισσότερα απ' όσα έπρεπε;

#6

Αναζητώντας, ακόμα την βασιλικήν οδόν προς την Λακωνίαν, μια αναλυτική λύση, που ούτε πολυλογάδικη τη λές, αλλά ούτε και λακωνική.

: 14-03-2019 Γεωμετρία.png (22.07 KiB) Προβλήθηκε 701 φορές

Παίρνουμε

.

Είναι $\displaystyle \varepsilon \varphi C = \frac{4}{3}$ , οπότε $\displaystyle \frac{{2\varepsilon \varphi \frac{C}{2}}}{{1 - \varepsilon \varphi {{\frac{C}{2}}^2}}} = \frac{4}{3} \Leftrightarrow \varepsilon \varphi \frac{C}{2} = \frac{1}{2}$ , (αφού είναι θετικός αριθμός).

Οπότε $\displaystyle S\left( {a,\;\frac{a}{2}} \right),\;\;0 < a < 6$ .

Το ελάχιστο του λόγου $\displaystyle \frac{{SA}}{{SB}}$ προκύπτει όταν έχουμε το μέγιστο του λόγου $\displaystyle \frac{{S{B^2}}}{{S{A^2}}}$ .

Είναι $\displaystyle \frac{{S{B^2}}}{{S{A^2}}} = \frac{{{{\left( {6 - a} \right)}^2} + {{\left( {8 - \frac{a}{2}} \right)}^2}}}{{{{\left( {6 - a} \right)}^2} + \frac{{{a^2}}}{4}}} = 1 + 8 \cdot \frac{{8 - a}}{{{{\left( {6 - a} \right)}^2} + \frac{{{a^2}}}{4}}}$ .

Παρατηρώ ότι το μέγιστο του λόγου $\displaystyle \frac{{S{B^2}}}{{S{A^2}}}$ είναι

.

Πράγματι, είναι $\displaystyle \frac{{8 - a}}{{{{\left( {6 - a} \right)}^2} + \frac{{{a^2}}}{4}}} \le \frac{1}{2} \Leftrightarrow 0 \le {a^2} - 8x + 16 \Leftrightarrow {\left( {a - 4} \right)^2} \ge 0$ , που ισχύει όταν a = 4

.

Τότε το ελάχιστο του λόγου $\displaystyle \frac{{SA}}{{SB}}$ είναι $\displaystyle \frac{1}{{\sqrt 5 }}$ .

ΣΧΟΛΙΟ: Το ότι το ελάχιστο του λόγου συμβαίνει στο έγκεντρο προκύπτει εκ των υστέρων. Μένει να χρησιμοποιηθεί η ιδιότητα του έγκεντρου ως συστατικό στοιχείο της απόδειξης κι όχι ως απλή παρατήρηση εκ των υστέρων.

Το λακωνίζειν εστί φιλοσοφείν

Το λακωνίζειν εστί φιλοσοφείν

Re: Το λακωνίζειν εστί φιλοσοφείν

Re: Το λακωνίζειν εστί φιλοσοφείν

Re: Το λακωνίζειν εστί φιλοσοφείν

Re: Το λακωνίζειν εστί φιλοσοφείν

Re: Το λακωνίζειν εστί φιλοσοφείν

Μέλη σε σύνδεση