Ελάχιστος λόγος 14

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10398
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ελάχιστος λόγος 14

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Μαρ 15, 2019 8:42 am

Ελάχιστος  λόγος 14.png
Ελάχιστος λόγος 14.png (6.65 KiB) Προβλήθηκε 96 φορές
Στη διάμεσο CM του ορθογωνίου τριγώνου \displaystyle ABC , με AB=6 και AC=4 ,

κινείται σημείο S . Βρείτε εκείνη τη θέση του S , για την οποία ελαχιστοποιείται

ο λόγος : \dfrac{SA}{SB} και την ελάχιστη τιμή του λόγου αυτού . Σχόλια επιθυμητά ...



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7701
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ελάχιστος λόγος 14

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Μαρ 15, 2019 9:53 am

KARKAR έγραψε:
Παρ Μαρ 15, 2019 8:42 am
Ελάχιστος λόγος 14.pngΣτη διάμεσο CM του ορθογωνίου τριγώνου \displaystyle ABC , με AB=6 και AC=4 ,

κινείται σημείο S . Βρείτε εκείνη τη θέση του S , για την οποία ελαχιστοποιείται

ο λόγος : \dfrac{SA}{SB} και την ελάχιστη τιμή του λόγου αυτού . Σχόλια επιθυμητά ...
Είναι \displaystyle \cos (S\widehat MA) = \frac{3}{5}. Με νόμο συνημιτόνων στα SMA, SMB έχουμε:
Ελάχιστος λόγος.14.png
Ελάχιστος λόγος.14.png (9.47 KiB) Προβλήθηκε 86 φορές
\displaystyle \dfrac{{S{A^2}}}{{S{B^2}}} = \dfrac{{{x^2} + 9 - \dfrac{{18x}}{5}}}{{{x^2} + 9 - \dfrac{{18x}}{5}}} = \dfrac{{{x^2} - 18x + 45}}{{{x^2} + 18x + 45}}. Θέτω \displaystyle \frac{{S{A^2}}}{{S{B^2}}} = y,y \ne 1. Τότε:

\displaystyle 5(y - 1){x^2} + 18(y + 1)x + 45(y - 1) = 0. Για να έχει όμως η εξίσωση αυτή λύση ως προς x πρέπει

\displaystyle \Delta  \ge 0 \Leftrightarrow  - (y - 4)(4y - 1) \ge 0 \Leftrightarrow \frac{1}{4} \le y \le 4 και \boxed{\frac{1}{2} \le \sqrt y  \le 2}

Άρα, \boxed{ {\left( {\frac{{SA}}{{SB}}} \right)_{\min }} = \frac{1}{2}} Για αυτή την ελάχιστη τιμή βρίσκουμε \boxed{x=3}



Σχόλια: 1) Η ελάχιστη τιμή επιτυγχάνεται όταν \displaystyle A\widehat SB = 90^\circ

2) Αν το S τοποθετηθεί στην προέκταση της διαμέσου και στην ίδια απόσταση από το M τότε ο λόγος γίνεται μέγιστος ίσος με 2.

3) Θα επανέλθω για τη γενίκευση σε τυχαίο τρίγωνο.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7701
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ελάχιστος λόγος 14

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Μαρ 15, 2019 12:01 pm

Έστω τυχαίο τρίγωνο ABC, b>c, η διάμεσός του AM με BM=MC=a, A\widehat MB=\varphi

και σημείο S πάνω στη διάμεσο. Θα δείξω ότι ο λόγος \displaystyle \frac{{SB}}{{SC}} ελαχιστοποιείται όταν B\widehat SC=90^\circ.
Ελάχιστος λόγος.14.Γενίκευση.png
Ελάχιστος λόγος.14.Γενίκευση.png (20.39 KiB) Προβλήθηκε 63 φορές
\dfrac{{S{B^2}}}{{S{C^2}}} = \dfrac{{{x^2} + {a^2} - 2ax\cos \varphi }}{{{x^2} + {a^2} + 2ax\cos \varphi }} = y \Leftrightarrow \boxed{(y - 1){x^2} + 2ax\cos \varphi (y + 1) + {a^2}(y - 1),y \ne 1} (1)

Με την ίδια διαδικασία,όπως πριν, \displaystyle \Delta  \ge 0 \Leftrightarrow \frac{{1 - \cos \varphi }}{{1 + \cos \varphi }} \le y \le \frac{{1 + \cos \varphi }}{{1 - \cos \varphi }} \Leftrightarrow \boxed{\frac{{\sin \varphi }}{{1 + \cos \varphi }} \le \sqrt y  \le \frac{{\sin \varphi }}{{1 - \cos \varphi }}}

Για \Delta=0, η εξίσωση (1) έχει διπλή ρίζα \displaystyle x =  - \frac{{a\cos \varphi (y + 1)}}{{y - 1}} και με αντικατάσταση του \displaystyle {y_{\min }} είναι \boxed{x=a}, άρα B\widehat SC=90^\circ.


Παρατηρήσεις: 1) Με αντικατάσταση του \displaystyle {y_{\max }} βρίσκουμε x=-a, που σημαίνει ότι ο λόγος μεγιστοποιείται όταν το S είναι στην προέκταση του AM.

2) Τα παραπάνω για την ελαχιστοποίηση του λόγου, ισχύουν αν η γωνία \widehat A είναι οξεία. Αν είναι ορθή τότε η κορυφή A είναι το ζητούμενο σημείο, ενώ αν είναι αμβλεία τότε το S βρίσκεται στην προέκταση του MA προς το μέρος του A.

3) Σε κάθε περίπτωση τα σημεία τομής του κύκλου \displaystyle \left( {M,\frac{{BC}}{2}} \right) με την ευθεία της διαμέσου AM δίνουν τις θέσεις του S για την ελάχιστη και μέγιστη τιμή του λόγου \displaystyle \frac{{SB}}{{SC}}.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες