Ελάχιστος λόγος 14

KARKAR · #1

: Ελάχιστος λόγος 14.png (6.65 KiB) Προβλήθηκε 470 φορές

Στη διάμεσο

του ορθογωνίου τριγώνου $\displaystyle ABC$ , με AB=6

και

,

κινείται σημείο

. Βρείτε εκείνη τη θέση του

, για την οποία ελαχιστοποιείται

ο λόγος : $\dfrac{SA}{SB}$ και την ελάχιστη τιμή του λόγου αυτού . Σχόλια επιθυμητά ...

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 15, 2019 8:42 am
Ελάχιστος λόγος 14.pngΣτη διάμεσο του ορθογωνίου τριγώνου $\displaystyle ABC$ , με και ,

κινείται σημείο . Βρείτε εκείνη τη θέση του , για την οποία ελαχιστοποιείται

ο λόγος : $\dfrac{SA}{SB}$ και την ελάχιστη τιμή του λόγου αυτού . Σχόλια επιθυμητά ...

Είναι $\displaystyle \cos (S\widehat MA) = \frac{3}{5}.$ Με νόμο συνημιτόνων στα SMA, SMB

έχουμε:

: Ελάχιστος λόγος.14.png (9.47 KiB) Προβλήθηκε 460 φορές

$\displaystyle \dfrac{{S{A^2}}}{{S{B^2}}} = \dfrac{{{x^2} + 9 - \dfrac{{18x}}{5}}}{{{x^2} + 9 - \dfrac{{18x}}{5}}} = \dfrac{{{x^2} - 18x + 45}}{{{x^2} + 18x + 45}}.$ Θέτω $\displaystyle \frac{{S{A^2}}}{{S{B^2}}} = y,y \ne 1.$ Τότε:

$\displaystyle 5(y - 1){x^2} + 18(y + 1)x + 45(y - 1) = 0.$ Για να έχει όμως η εξίσωση αυτή λύση ως προς

πρέπει

$\displaystyle \Delta \ge 0 \Leftrightarrow - (y - 4)(4y - 1) \ge 0 \Leftrightarrow \frac{1}{4} \le y \le 4$ και $\boxed{\frac{1}{2} \le \sqrt y \le 2}$

Άρα, $\boxed{ {\left( {\frac{{SA}}{{SB}}} \right)_{\min }} = \frac{1}{2}}$ Για αυτή την ελάχιστη τιμή βρίσκουμε $\boxed{x=3}$

Σχόλια: 1) Η ελάχιστη τιμή επιτυγχάνεται όταν $\displaystyle A\widehat SB = 90^\circ$

2) Αν το

τοποθετηθεί στην προέκταση της διαμέσου και στην ίδια απόσταση από το

τότε ο λόγος γίνεται μέγιστος ίσος με

3) Θα επανέλθω για τη γενίκευση σε τυχαίο τρίγωνο.

#3

Έστω τυχαίο τρίγωνο ABC, b>c,

η διάμεσός του

με $BM=MC=a, A\widehat MB=\varphi$

και σημείο

πάνω στη διάμεσο. Θα δείξω ότι ο λόγος $\displaystyle \frac{{SB}}{{SC}}$ ελαχιστοποιείται όταν $B\widehat SC=90^\circ.$

: Ελάχιστος λόγος.14.Γενίκευση.png (20.39 KiB) Προβλήθηκε 437 φορές

$\dfrac{{S{B^2}}}{{S{C^2}}} = \dfrac{{{x^2} + {a^2} - 2ax\cos \varphi }}{{{x^2} + {a^2} + 2ax\cos \varphi }} = y \Leftrightarrow$ $\boxed{(y - 1){x^2} + 2ax\cos \varphi (y + 1) + {a^2}(y - 1),y \ne 1}$ (1)

Με την ίδια διαδικασία,όπως πριν, $\displaystyle \Delta \ge 0 \Leftrightarrow \frac{{1 - \cos \varphi }}{{1 + \cos \varphi }} \le y \le \frac{{1 + \cos \varphi }}{{1 - \cos \varphi }} \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{{\sin \varphi }}{{1 + \cos \varphi }} \le \sqrt y \le \frac{{\sin \varphi }}{{1 - \cos \varphi }}}$

Για $\Delta=0,$ η εξίσωση (1)

έχει διπλή ρίζα $\displaystyle x = - \frac{{a\cos \varphi (y + 1)}}{{y - 1}}$ και με αντικατάσταση του $\displaystyle {y_{\min }}$ είναι $\boxed{x=a},$ άρα $B\widehat SC=90^\circ.$

Παρατηρήσεις: 1) Με αντικατάσταση του $\displaystyle {y_{\max }}$ βρίσκουμε x=-a,

που σημαίνει ότι ο λόγος μεγιστοποιείται όταν το

είναι στην προέκταση του AM.

2) Τα παραπάνω για την ελαχιστοποίηση του λόγου, ισχύουν αν η γωνία $\widehat A$ είναι οξεία. Αν είναι ορθή τότε η κορυφή

είναι το ζητούμενο σημείο, ενώ αν είναι αμβλεία τότε το

βρίσκεται στην προέκταση του

προς το μέρος του

3) Σε κάθε περίπτωση τα σημεία τομής του κύκλου $\displaystyle \left( {M,\frac{{BC}}{2}} \right)$ με την ευθεία της διαμέσου

δίνουν τις θέσεις του

για την ελάχιστη και μέγιστη τιμή του λόγου $\displaystyle \frac{{SB}}{{SC}}.$

Ελάχιστος λόγος 14

Ελάχιστος λόγος 14

Re: Ελάχιστος λόγος 14

Re: Ελάχιστος λόγος 14

Μέλη σε σύνδεση