mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Μαρ 15, 2019 1:37 pm**

: Αύξων λόγος.png (9.85 KiB) Προβλήθηκε 815 φορές

$\bigstar$ Σημείο

κινείται επί του ύψους

τριγώνου $\displaystyle ABC$ , από το

προς το

.

Έστω ότι DC=3BD

. Δείξτε ότι ο λόγος $\dfrac{SB}{SC}$ αυξάνει συνεχώς και εντοπίστε

εκείνη τη θέση του

, για την οποία ο λόγος αυτός γίνεται ίσος με $\dfrac{1}{2}$ .

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Μαρ 15, 2019 3:01 pm**

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 15, 2019 1:37 pm
Αύξων λόγος.png $\bigstar$ Σημείο κινείται επί του ύψους τριγώνου $\displaystyle ABC$ , από το προς το .

Έστω ότι . Δείξτε ότι ο λόγος $\dfrac{SB}{SC}$ αυξάνει συνεχώς και εντοπίστε

εκείνη τη θέση του , για την οποία ο λόγος αυτός γίνεται ίσος με $\dfrac{1}{2}$ .

Το πρόβλημα "προσφέρεται" για αναλυτικοανάλυση

$B\left( -d,0 \right),C\left( 3d,0 \right),S\left( 0,y \right)\Rightarrow f\left( y \right)=\dfrac{{{\left( SB \right)}^{2}}}{{{\left( SC \right)}^{2}}}=\dfrac{{{d}^{2}}+{{y}^{2}}}{9{{d}^{2}}+{{y}^{2}}},y\ge 0$ με ${f}'\left( y \right)=\dfrac{2y\left( 9{{d}^{2}}+{{y}^{2}} \right)-2y\left( {{d}^{2}}+{{y}^{2}} \right)}{{{\left( 9{{d}^{2}}+{{y}^{2}} \right)}^{2}}}=\dfrac{16y{{d}^{2}}}{{{\left( 9{{d}^{2}}+{{y}^{2}} \right)}^{2}}}>0,\forall y>0\Rightarrow f$ γνησίως αύξουσα στο $\left[ 0,+\infty \right)$ και επειδή η συνάρτηση $\sqrt{x}$ είναι γνησίως αύξουσα θα είναι και $\sqrt{f\left( x \right)}=\dfrac{SB}{SC}$ γνησίως αύξουσα

Για να γίνει $f\left( y \right)=\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow \dfrac{{{d}^{2}}+{{y}^{2}}}{9{{d}^{2}}+{{y}^{2}}}=\dfrac{1}{4}\overset{d>0,y\ge 0}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,y=d\sqrt{\dfrac{5}{3}}$

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Μαρ 15, 2019 3:54 pm**

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 15, 2019 1:37 pm
Αύξων λόγος.png $\bigstar$ Σημείο κινείται επί του ύψους τριγώνου $\displaystyle ABC$ , από το προς το .

Έστω ότι . Δείξτε ότι ο λόγος $\dfrac{SB}{SC}$ αυξάνει συνεχώς και εντοπίστε

εκείνη τη θέση του , για την οποία ο λόγος αυτός γίνεται ίσος με $\dfrac{1}{2}$ .

Εστω ότι

Τοτε $\dfrac{BS}{SC}=\dfrac{\sqrt{d^{2}+SD^{2}}}{\sqrt{9d^{2}+SD^{2}}},\dfrac{BS'^{2}}{DS'^{2}}=\dfrac{d^{2}+DS'^{2}} {9d^{2}+SD^{2}}, \dfrac{d^{2}+SD^{2}}{9d^{2}+SD^{2}}< \dfrac{d^{2}+DS'^{2}}{9d^{2}+DS'^{2}}\Leftrightarrow DS'>SD$

$\dfrac{1}{4}=\dfrac{d^{2}+SD^{2}}{9d^{2}+SD^{2}}\Leftrightarrow SD=\dfrac{d\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$

Γιάννης

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Μαρ 15, 2019 4:40 pm**

Για το α) ερώτημα.Φέρνω τη διχοτόμο

της $B\widehat SC$ και έστω DE=x.

: Αύξων λόγος.png (13.32 KiB) Προβλήθηκε 727 φορές

$\displaystyle \frac{{SB}}{{SC}} = \frac{{BE}}{{EC}} = \frac{{x + d}}{{3d - x}} = f(x)$

$\displaystyle 0 < {x_1} < {x_2} < 3d \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 0 < {x_1} + d < {x_2} + d\\ \\ 3d - {x_1} > 3d - {x_2} \Leftrightarrow 0 < \dfrac{1}{{3d - {x_1}}} < \dfrac{1}{{3d - {x_2}}} \end{array} \right. \Rightarrow f({x_1}) < f({x_2})$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Μαρ 15, 2019 8:02 pm**

: Αύξων λόγος.png (12.26 KiB) Προβλήθηκε 719 φορές

Γιώργο , πιθανότατα δεν κάνεις λάθος , σίγουρα όμως η λύση που προτείνεις είναι ελλιπής .

Διότι κατά την εκφώνηση αυξάνει το

. Το ότι αυξάνει ταυτόχρονα και το

θέλει απόδειξη .

Φαίνεται πάντως ότι πράγματι έτσι συμβαίνει .

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Μαρ 15, 2019 8:16 pm**

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 15, 2019 8:02 pm
Αύξων λόγος.png Γιώργο , πιθανότατα δεν κάνεις λάθος , σίγουρα όμως η λύση που προτείνεις είναι ελλιπής .

Διότι κατά την εκφώνηση αυξάνει το . Το ότι αυξάνει ταυτόχρονα και το θέλει απόδειξη .

Φαίνεται πάντως ότι πράγματι έτσι συμβαίνει .

Σ' ευχαριστώ Θανάση για την άμεση απάντηση. Κάτι δεν μου πήγαινε καλά... δικαιολογημένα, απ' ότι φαίνεται.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μαρ 17, 2019 8:44 am**

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 15, 2019 1:37 pm
Σημείο κινείται επί του ύψους τριγώνου $\displaystyle ABC$ , από το προς το .

Έστω ότι . Δείξτε ότι ο λόγος $\dfrac{SB}{SC}$ αυξάνει συνεχώς και εντοπίστε

εκείνη τη θέση του , για την οποία ο λόγος αυτός γίνεται ίσος με $\dfrac{1}{2}$ .

Ας το δούμε και Τριγωνομετρικά: Αν $\angle SBD = \theta , \, \angle SCD = \phi$ έχουμε αμέσως ότι $\tan \theta = 3\tan \phi$ . Το τετράγωνο του δοθέντα λόγου είναι

$\displaystyle{\dfrac {\sin ^2 \phi }{\sin ^ 2 \theta }= \dfrac {\dfrac {\tan ^2 \phi} {\tan ^2 \phi + 1} }{\dfrac {\tan ^2 \theta} {\tan ^2 \theta + 1 }}= \dfrac {\dfrac {\tan ^2 \phi} {\tan ^2 \phi + 1} }{\dfrac {9\tan ^2 \phi } {9\tan ^2 \phi + 1 }}= \dfrac {9 \tan ^2 \phi + 1}{9\tan ^ 2 \phi + 9 }= \dfrac {9 t ^2 + 1}{9t ^ 2 + 9} = 1-\dfrac {8}{9t ^ 2 + 9}}$

Είναι τώρα άμεσο ότι καθώς αυξάνει το

, αυξάνει και το δεξί μέλος. Τα υπόλοιπα απλά.

mathematica.gr

Αύξων λόγος

Αύξων λόγος

Re: Αύξων λόγος

Re: Αύξων λόγος

Re: Αύξων λόγος

Re: Αύξων λόγος

Re: Αύξων λόγος

Re: Αύξων λόγος